§3. Алгебры
Алгебра - не только математическая дисциплина. Тот же термин обозначает вполне определенную структуру. Алгеброй называется
множество
М
вместе
с заданной на нем системой операций
называется
сигнатурой алгебры, а Л/ - носителем.
Обозначение.
Примеры.
1)
-
алгебры на множестве
соответственно, действительных, натуральных и целых чисел с операциями сложения и умножения.
2)
- множество дифференцируемых функций
действительной
переменной,
элементарных
функций; D
- оператор
дифференцирования, ставящий в соответствие каждой функции ее производную.
Подобно изоморфизму отношений рассматривается изоморфизм
двух
алгебр
и
- взаимно
однозначное соответствие Г между множествами М и N и
операциями
и
при
котором выполнено:
для
всех
Подчеркнем, что изоморфизм - это не просто взаимно однозначное соответствие (его - для конечных множеств - можно установить между любыми двумя множествами с одинаковым числом элементов) Смысл этого понятия состоит в том, что если выполнить в алгебре А какие-либо операции над определенными элементами множества М и соответствующие операции в алгебре В над соответствующими
элементами множества N, то результаты операций также будут соответствовать друг другу
Примеры.
1)
Алгебры
-
множество целых
чисел,
кратных трем, изоморфны, в силу
соответствия
.
Так,
например, сложению 5 + 8=13 будет соответствовать сложение ^5 + 24 = 39, что можно проиллюстрировать схемой
2)
Алгебры
- множество положительных действительных
чисел, изоморфны, в силу соответствия
(ввиду
тождества
).
Это также проиллюстрируем
схемой
В этом примере только для наглядности участвуют целые степени числа 2, чтобы их двоичные логарифмы были целыми числами.
3)
Алгебры
на булеане 5(М) произвольного множества
М
изоморфны.
Изоморфизм устанавливается соответствием
.
В самом деле,
[в
силу закона
де
Моргана]
Противоположный
пример: алгебры
,
где
множество
целочисленных двумерных векторов, не
изоморфны. Хотя оба множества
- счетны, т.е. между ними можно (многими
способами)
установить взаимно-однозначное
соответствие, но не удастся сделать это
так, чтобы сумма векторов, поставленных
в соответствие двум числам всегда
соответствовала сумме этих чисел.
Конечно, это требует доказательства,
но мы его здесь не приводим. Особое
значение имеет следующий пример. Алгебра
,
т.е. алгебра на булеане В(Е)
с
операциями объединения, пересечения и дополнения называется алгеброй множеств на множестве Е, или алгеброй Кантора.
Частично
упорядоченное множество элементов
булеана В(Е)
имеет
наименьший элемент
и
наибольший Е
. Для
системы подмножеств множества Е
выполняются
свойства 1-21, приведенные в §1 главы 1.
Пример
для двух- и трехэлементного множества
Е
фактически
рассмотрен в §1 главы 1. Если трактовать
операцию
как сложение, операцию как умножение,
а операцию дополнения А
как
(-А),
то
некоторые,
но
не все, из равенств 1-21 схожи с
соответствующими свойствами арифметических
действий над числами: 1-4 -коммутативность
и ассоциативность сложения и умножения,
5 -дистрибутивность умножения относительно
сложения, 7-10 и 15-18 напоминают свойства
функций max
и min
;
играет
роль нуля при сложении и умножении, a
U
- роль
единицы при умножении. Подробнее эта
аналогия разбирается в гл.З.
Изоморфизм
между отношением
на булеане В(Е)
п -элементного множества Е и отношением делимости на множестве
О,, делителей натурального числа Н , если Я есть произведение п
различных простых чисел, можно распространить на изоморфизм между
алгебрами. Для этого достаточно определить на множестве делителей
Н операции НОК(а,Ь) - наименьшее общее кратное чисел а и Ь,
НОД(а,Ь) - наибольший общий делитель чисел а и Ъ и поставить в
соответствие простым делителям числа Я одноэлементные
подмножества множества Е (для простоты будем обозначать их теми
же символами: а,Ь,...). Тогда для соответствия (обозначаемого
символом
между
подмножествами Е
и
произведениями различных простых
делителей Я выполнены соотношения:
и это соответствие есть изоморфизм.
Как видно из рассмотренных примеров, если алгебры А и В изоморфны, то элементы и операции В можно переименовать так, что В совпадет с А . Из основного равенства в определении изоморфизма следует, что любое эквивалентное соотношение в алгебре А сохраняется в каждой изоморфной ей алгебре В . Это позволяет, получив такие соотношения в алгебре А , автоматически распространить
их на все алгебры, изоморфные А . Распространенное в математике выражение "рассматривать объекты с точностью до изоморфизма" означает, что рассматриваются только те свойства объектов, которые сохраняются при изоморфизме, т.е. являются общими для всех изоморфных объектов. В частности, изоморфизм сохраняет ассоциативность, коммутативность и дистрибутивность.
Установление изоморфизма между какими-либо системами имеет большое практическое значение. Оно сродни точному переводу на другой язык описания явлений. Когда, например, аналитическая геометрия устанавливает соотношения между геометрическими объектами - линиями или поверхностями и их аналитическими представлениями в виде уравнений, или в курсе математического анализа мы выясняем геометрический смысл производной, дифференциала или интеграла, мы получаем возможность выбирать и использовать при исследованиях и в прикладных задачах наиболее удобное для данного случая представление. В некоторых задачах изоморфизм систем служит основанием для моделирования объектов и их взаимодействия.