Завдання

1 Словесний опис механічної системи

Механічна система складається з таких елементів:

• пружина з жорсткістю С , під дією якої рухається тіло масою m по поверхні з коефіцієнтом в’язкого тертя ;

• важіль, закріплений на опорі, яка розділяє його на дві частини з довжиною і , відповідно;

• гільза, що рухається по поверхні з коефіцієнтом в’язкого тертя (демпфування) ;

• гільза складається з пружини жорсткості С , під дією якої рухається тіло масою m по поверхні з коефіцієнтом в’язкого тертя , і пружини жорсткості С , що сповільнює рух тіла масою m .

Робота системи здійснюється таким чином.

Під дією вхідного сигналу X(t) (закон, за яким змінюється сила від джерела енергії) починає деформуватися лівий торець пружини з жорсткістю С₁, накопичуючи при цьому енергію, яка здатна перемістити тіло масою m₁, тобто перевищити силу тертя спокою цього тіла. Після того, як це тіло починає рухатися по координатному напрямку X₁(t), починає рухатися гільза, чому сприяє шарнірне з’єднання тіла масою m₁ і гільзи за допомогою важеля. При русі гільзи починає в свою чергу деформуватися лівий торець пружини з жорсткістю С₂, накопичуючи енергію для переміщення тіла масою m₂ (для подолання опору сили тертя спокою і жорсткості пружини С₃). При досягненні цієї умови тіло масою m₂ починає рухатися по координатному напрямку X₂(t), що являється вихідним сигналом системи.

2 Розрахункова схема механічної системи

X₃(t)

3 Математичний опис системи

а) опис в диференціальній формі

Приймаємо припущення:

• жорсткість кожної пружини незмінна в часі і кожна пружина деформується за лінійною залежністю;

• прикладена зовнішня сила змінюється не дуже швидко, тобто можна знехтувати масою кожної пружини;

• сухе тертя відсутнє;

• коефіцієнт в’язкого демпфування незмінний в часі (β);

• нехтуємо силою тяжіння;

• нехтуємо силами тертя в шарнірних з’єднаннях.

Керуючий сигнал у вигляді переміщення задається лівому торцю пружини з жорсткістю , яка деформується, створюючи пружну силу, що діє на тіло масою . Величина пружної сили дорівнює добутку коефіцієнта жорсткості на деформацію пружини .

Пружна сила = являється для тіла масою рушійною і направлена зліва направо. Під дією сили тіло масою починає рух з прискоренням в напрямку дії рушійної сили.

Сила інерції

,

де - друга похідна від координати переміщення тіла масою за часом.

Тобто, .

Напрям сили інерції протилежний вектору рушійної сили. Сила, що здійснює опір руху тіла, є силою в’язкого тертя.

Сила в’язкого тертя:

, або .

Сила в’язкого тертя з коефіцієнтом направлена проти швидкості руху тіла маси і дорівнює:

,

де X₃(t) – координата переміщення гільзи.

Сила пружності пружини з жорсткістю дорівнює:

.

Запишемо рівняння руху тіла маси :

,

або

.

Аналогічно складаємо рівняння руху тіла маси . Рушійною силою для тіла маси є пружна сила пружини .

,

або

.

Запишемо рівняння рівноваги важеля:

.

Рівняння пропорційності переміщень і довжинам плеч:

.

Отже, математична модель механічної системи, яка записана в диференціальній формі, має вигляд:

б) опис в алгебраїчній формі.

Запишемо вищенаведені рівняння математичної моделі механічної системи в алгебраїчній формі, використавши метод Лапласа, тобто перейдемо від оригіналу x(t) до зображення x(s), де s – оператор Лапласа:

Запишемо перші два рівняння відносно рушійних та збуджуючих сил:

Тоді, остаточна математична модель механічної системи, яка записана в алгебраїчній формі, має вигляд:

в) отримання передавальної функції системи

З урахуванням рівняння (3) рівняння (2) приймає вигляд:

Звідки

(4)

Вираз підставляємо в рівняння (1) системи, знову ж таки враховуючи рівняння (3):

Враховуючи, що та вираз (4), отримуємо:

Отже, передавальна функція системи має такий вигляд:

(5)

де

4 Побудова та перетворення структурної схеми

а) приведення вихідних рівнянь до виразів, за якими будуються структурні відображення

Розглянемо рівняння (1). Приймемо для нього:

X(S) – вхідний сигнал, X₁(S) - вихідний сигнал.

Запишемо рівняння (1) з врахуванням рівняння (3):

яке відносно вихідного сигналу приймає такий вигляд:

, (6)

Будуємо структурне відображення рівняння (6):

Для рівняння (3) приймаємо: X₁(S) – вхідний сигнал, X₃(S) - вихідний сигнал.

Запишемо рівняння відносно вихідного сигналу:

; (7)

Будуємо структурне відображення рівняння (7):

Для рівняння (2) приймаємо: X₃(S) – вхідний сигнал, X₂(S) - вихідний сигнал.

Запишемо рівняння (2) відносно вихідного сигналу:

;

. (8)

Будуємо структурне відображення рівняння (8):

б) побудова загальної структурної схеми

Будуємо загальну структурну схему системи, яка відображає рівняння (1) ÷ (3) (див. рис. 1).

в) перетворення структурної схеми за правилами і отримання передавальної функції системи.

Перетворимо послідовне з’єднання двох ланок:

Рисунок 5.1 – Структурна схема системи

де:

Перетворимо узгоджено-паралельне з’єднання двох ланок:

де:

Перетворимо послідовне з’єднання трьох ланок:

де:

Перетворимо зустрічно-паралельне з’єднання двох ланок:

де:

Перетворимо послідовне з’єднання двох ланок:

де: – передавальна функція системи.

Виконаємо перетворення для отримання остаточного виразу передавальної функції.

(9)

Отриманий вираз передавальної функції (9) після перетворення структурної схеми ідентичний з виразом (5) передавальної функції, яка отримана в п. 3в.

в) визначення типових динамічних ланок

Розглядаючи перехідні характеристики X_ВИХ найпростіших ланок, можна об’єднати ці ланки, подібні за динамічними властивостями в групи, які називаються типовими ланками.

Визначимо, з яких же ланок складається отримана структурна схема.

\ ідеальні (безінерційні) ланки, де

/ - коефіцієнти підсилення (або передачі)

Інтегрувальна ланка:

Інерційні ланки другого порядку (коливальні):

Диференціююча ланка (ідеальна) безінерційна:

5 Визначення стійкості системи

Основною динамічною характеристикою автоматичної системи є її стійкість. В залежності від характеру перехідного процесу лінеаризованої системи розрізняють три основних випадки як система себе поводить після збудженого сигналу:

• система не може повернутися до рівноважного стану, значення керуючої змінної все більше відхиляється від заданого. Така система така називається нестійкою;

• система повертається до рівноважного стану, така система – стійка;

• система характеризується встановленим періодичним рухом, такий процес називається незатухаючим коливальним, а система буде знаходитися на межі асимптотичної стійкості.

Запишемо характеристичне рівняння:

Необхідною умовою стійкості системи будь-якого порядку є додатність всіх коефіцієнтів характеристичного рівняння цієї системи.

Підпорядкуємо чисельні значення коефіцієнтів а₀, а₁, а₂, а₃, а₄ , використовуючи програму MathCAD:

;

;

;

;

;

кг, кг;

Н∙с/м, Н∙с/м, Н∙с/м;

С₁= 3000 н/м, С₂= 4000 н/м, С₃= 3200 Н/м;

м, 0,5 м.

Отже чисельні значення коефіцієнтів:

а₀ = 20, а₂ =3.993∙10⁴, а₄ = 1.464∙10⁷.

а₁ = 151, а₃ =1.449∙10⁵,

1. Визначення стійкості системи за алгебраїчними критеріями стійкості

Алгебраїчні критерії стійкості дають можливість за коефіцієнтами стійкості характеристичного рівняння замкнутої системи визначити чи всі корені знаходяться в лівій півплощині, не розв’язуючи цього рівняння.

Критерій Рауса

Запишемо характеристичне рівняння замкнутої системи в чисельному вигляді:

Складаємо таблицю Рауса для цього рівняння.

	1	2	3
1 1
22			0
33		0	0
44		–	–

Отже, система стійка, оскільки всі члени першого стовпчика більші за нуль.

Визначимо стійкість системи використовуючи критерій Гурвіца.

Для рівняння запишемо визначник Гурвіца:

= =

Знайдемо діагональні мінори:

;

= ;

= -

- =

Отже, дана система стійка.

2. Визначення стійкості системи за критерієм Михайлова

Представимо характеристичне рівняння:

.

Характеристичне рівняння у вигляді функції від S:

.

Зробивши заміну:

отримаємо рівняння комплексного вектора:

.

Згідно з критерієм Михайлова лінійна система буде стійкою, якщо крива Михайлова охоплює початок координат та послідовно проходить проти годинникової стрілки n-квадрантів, де n – порядок характеристичного рівняння. Підставляємо в рівняння в межах 0…120Гц.

Графік кривої Михайлова побудуємо за допомогою системи MathCAD:

ω = 0

Рисунок 5.1 – Крива Михайлова

Висновок. Отже визначивши стійкість системи за алгебраїчними критеріями і за критерієм Михайлова можна зробити висновок, що дана механічна система є стійкою при заданих значеннях параметрів.

3. Дослідження впливу параметра m₂ на стійкість системи за критерієм Михайлова

Змінивши вихідний параметр масу тіла m₂ = 2 кг (див. рис. 5.2), можна зробити висновок, що система є стійкою, збільшивши масу m₂ до 20 кг (див. рис. 5.3) запас стійкості збільшується.

Р исунок 5.2 Крива Михайлова

Рисунок 5.3 – Крива Михайлова

6 Визначення частотних характеристик системи автоматичного керування

Елементи і системи автоматичного керування можуть піддаватися різним впливам, які характеризуються довільними функціями часу. Зміна положення вихідної ланки системи у вигляді функції часу називається реакцією системи на вхідний вплив. В теорії автоматичного керування широко використовуються методи вивчення динамічних властивостей елементів і системи, які основані на визначенні реакцій, які викликані визначеними (детермінованими) типами впливу.

Розглянемо послідовність визначення і розрахунку частотних характеристик лінійної моделі системи.

Запишемо передавальну функцію системи, яку ми отримали в п.3:

Позначимо складові в чисельнику як b₀, b₁, а вирази в знаменнику як а₀, а₁, а₂, а₃, а₄:

; ;

; ;

;

;

Тоді передавальна функція системи приймає такий вигляд:

Вираз для побудови амплітудно-фазочастотної характеристики (АФЧХ) або комплексної частотної передавальної функції отримаємо з рівняння передавальної функції шляхом підстановки:

Враховуючи, що , запишемо:

Помноживши чисельник і знаменник рівняння на комплексний вираз, спряжений знаменнику, отримаємо:

Таким чином, АФЧХ можна представити у вигляді:

де

Побудуємо графік АФЧХ, тобто залежність P( ) від Q( ), змінюючи частоту в межах =0…120Гц при заданих значеннях системи.

Графік АФЧХ зображений на рис. 5.4.

Вираз для побудови амплітудно-частотної характеристики (АЧХ) системи має такий вигляд:

Графік АЧХ, зображений на рис. 5.5.

Вираз для побудови фазочастотної характеристики (ФЧХ) системи отримується в такому вигляді:

Рисунок 5.4 – Амплітудно-фазна частотна характеристика

Рисунок 5.5 – Амплітудно-частотна характеристика:

І – робоча зона;

ІІ – перша резонансна зона ( );

ІІІ – перша резонансна зона ( );

IV – зона фільтрації;

заштрихована зона – заданий діапазон точності.

Дійсне значення буде визначатися такими співвідношеннями:

де – гострий кут, отриманий за наведеними виразами ФЧХ. Тому при побудові графіка фазочастотної характеристики потрібно вирахувати ці співвідношення.

Графік ФЧХ зображено на рис. 5.6

Рисунок 5.6 – Фазочастотна характеристика

Висновок. Отже, використавши побудову амплітудно-фазочастотної характеристики, амплітудно-частотної і фазочастотної характеристик можна отримати інформацію про те, як система реагує на гармонічний сигнал при зміні частоти його подавання на вхід.

Загальні висновки по роботі

Виконавши дану розрахунково-графічну роботу, ми навчилися складати математичну модель механічної системи, також будувати і перетворювати структурну схему.

До завдань даної роботи також відносились визначення стійкості системи, визначення і побудова частотних характеристик.

За допомогою критерія Михайлова ми визначили стійкість системи, при побудові кривих Михайлова для різних вихідних параметрів (маса m₂) можна зробити висновок про те, як змінюється стійкість при зміні його параметра. Побудувавши частотні характеристики АФЧХ, АЧХ і ФАХ можна зробити висновок про те, при яких оптимальних режимах повинна працювати механічна система.