Глава 8. Определенный интеграл

§1. Определение определенного интеграла.

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b], a < b.

Выполним следующие действия:

1. Точками разобьем отрезок [a, b] на n частичных отрезков

X

a=x₀ x1 x2 xi-1 xi b=x_n

2. На каждом частичном отрезке выберем произвольную точку c_i  [x_i-1; x_i ] и вычислим значения функции f(с_i).

3. Умножим найденные значения функции f(c_i) на длину соответствующего единичного отрезка x_i = x_i – x_i-1. Т.е. получим произведение: f(c_i)x_i.

4. Просуммируем полученные произведения. Получим (1)

Полученную сумму (1) называют интегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a, b].

5. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка: λ=max{ } (i=1, 2..n).

λ - шаг разбиения.

6. Перейдем к пределу интегральной суммы (1) при    (при этом n  ):

(2)

Если предел (2) существует, то он называется определенным интегралом функции y=f(x) на отрезке [a, b] и обозначается

Определение. Определенным интегралом называется число, равное пределу интегральной суммы при шаге разбиения   0, если этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка [a, b] на частичные отрезка ни от выбора внутренних точек сi.

Таким образом, согласно определению: (3). Сама функция f(x) при этом называется интегрируемой на отрезке [a, b].

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования; f(x) – подинтегральной функцией; f(x)dx – подинтегральным выражением; x – переменной интегрирования; отрезок [a,b] – областью (отрезком) интегрирования.

При фиксированных пределах интегрирования a и b определенный интеграл (3) есть постоянное число. Определение определенного интеграла при помощи схемы 1. – 6. принадлежит Римману, поэтому интеграл (3) называется риммановым. Существуют и другие конструкции интегралов. Нам они не понадобятся.

Сформулируем теорему существования определенного интеграла:

Теорема (Коши). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке, т.е. определенный интеграл существует.

Некоторые свойства определенного интеграла, следующие непосредственно из его определения (3):

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

.

3. Если подинтегральная функция равна единице, то определенный интеграл этой функции по отрезку [a,b] равен длине этого отрезка, т.е.:

.

§2. Геометрический смысл определенного интеграла.

Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция y = f(x)  0. Фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу – осью Ох, сбоку прямыми x = a и x = b, называется криволинейной трапецией.

y

y = f(x)

0 x

Найдем площадь этой трапеции S.

Если функция f(x)  0 на отрезке [a,b], тогда интегральная сумма

(1) геометрически представляет собой площадь ступенчатой фигуры S_n:

y

0 a c₁x₁ c₂x₂ x_i-1 c_i x_i x_n-1c_n b x

Площадь криволинейной трапеции S приближенно равна площади ступенчатой фигуры:

.

С уменьшением всех величин x_i точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличивается. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел S , к которому стремится площадь ступенчатой фигуры S_n при неограниченном возрастании n   так, что   0:

.

Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. В этом и состоит геометрический смысл определенного интеграла.