Графики функций с модулем
Для качественного усвоения материала необходимо понимать, что такое модуль. Краткую информацию о нём можно найти на странице Математические формулы и таблицы в справочном материале Горячие формулы школьного курса математики.
Применение модуля тоже представляет собой геометрическое преобразование графика. Не буду создавать сверхподробный мануал, отмечу только те моменты, которые, с моей точки зрения, реально пригодятся для решения других задач по вышке.
Сначала посмотрим, что происходит, когда модуль применяется к АРГУМЕНТУ функции.
Правило:
график функции 
получается
из графика функции
следующим
образом: при 
график
функции
сохраняется,
а при 
«сохранённая
часть» отображается
симметрично относительно
оси
.
Пример 22
Построить
график функции 
И
снова вечная картина:
Согласно
правилу, при
график
сохраняется:
И
сохранившаяся часть отображается
симметрично относительно оси
в
левую полуплоскость:
Действительно,
функция
–
чётная, и её график симметричен
относительно оси ординат. Поясню
детальнее смысл симметрии. Посмотрим
на два противоположных значения
аргумента, например, на
и 
.
А какая разница? Модуль всё равно
уничтожит знак «минус»: 
,
то есть значения функции будут
располагаться на одной высоте.
Функцию
от модуля можно расписать в так
называемом кусочном
виде по
следующему правилу: 
.
В данном случае:
То есть, правая волна графика задаётся функцией , а левая волна – функцией (см. Пример 13).
Пример 23
Построить
график функции 
Аналогично,
ветвь «обычной» экспоненты
правой
полуплоскости отображаем симметрично
относительно оси
в
левую полуплоскость:
Распишем
функцию в кусочном
виде: 
,
то есть правая ветвь задаётся графиком
функции
,
а левая ветвь графиком 
.
Модуль
не имеет смысл «навешивать» на аргумент
чётной функции: 
и
т.п. (проанализируйте, почему).
И, наконец, завершим статью весёлой нотой – применим модуль к САМОЙ ФУНКЦИИ.
Правило:
график функции 
получается
из графика функции
следующим
образом: часть графика
,
лежащая НАД осью
сохраняется,
а часть графика
,
лежащаяПОД осью
отображается
симметрично относительно
данной оси.
Странно, что широко известный график модуля «икс» оказался на 24-ой позиции, но факт остаётся фактом =)
Пример 24
Построить
график функции 
Сначала
начертим прямую, известную широкому
кругу лиц:
Часть
графика, которая ВЫШЕ оси
,
остаётся неизменной, а часть графика,
которая НИЖЕ оси
–
отображается симметрично в верхнюю
полуплоскость:
Модуль
функции также раскрывается аналитически
в кусочном
виде:
Внимание! Формула отличается от формулы предыдущего пункта!
В
данном случае: 
,
действительно, правый луч задаётся
уравнением 
,
а левый луч – уравнением 
.
Кстати,
–
редкий экземпляр, когда можно считать,
что модуль применён, как к аргументу:
,
так и к самой функции: 
.
Изучим более «жизненную» ситуацию:
Пример 25
Построить
график функции 
Сначала
изобразим график линейной функции 
:
То,
что ВЫШЕ оси абсцисс – не трогаем, а то,
что НИЖЕ – отобразим симметрично
относительно оси
в
верхнюю полуплоскость:
Согласно
формуле
,
распишем функцию аналитически в кусочном
виде: 
.
Или,
упрощая оба этажа: 
,
то есть правый луч задаётся функцией
,
а левый луч – функцией 
.
Сомневающиеся могут взять несколько
значений «икс», выполнить подстановку
и свериться с графиком.
На
какие функции модуль «не действует»?
Модуль бессмысленно применять к
неотрицательным функциям. Например: 
.
Экспоненциальная функция и так полностью
лежит в верхней полуплоскости: 
.
Всё возвращается на круги своя, синусом начали, синусом и закончим. Как в старой доброй сказке:
Пример 26
Построить
график функции 
.
Изобразим сами знаете что =)
И
снова – то, что находиться в верхней
полуплоскости – оставим в покое, а
содержимое подвала – отобразим
симметрично относительно оси
:
Кстати, понятен ли вам неформальный смысл такого симметричного отображения? Модуль «съедает» у отрицательных чисел знак и делает их положительными, именно поэтому «подвальные» точки занимают противоположные места в верхней полуплоскости.
Распишем
функцию в кусочном виде:
Решив
два простейших школьных неравенства 
,
получаем:
,
где 
–
любое целое число.
Да, статья была не самой приятной, но крайне необходимой. Однако повествование завершилось и стало немножко грустно =) Чем-то напомнило мне всё это урок про метод Симпсона, который тоже создавался в марте, и тоже достаточно долгое время. Наверное, громоздкие вещи пишутся по сезону =)