2. Математическая модель переноса тепла в живой ткани

На рис. 1 приведена схема, иллюстрирующая механизм переноса тепла в живой ткани.

Кровь, циркулирующая в многочисленных капиллярах, которыми пронизаны ткани, переносит не только кислород и питательные вещества, но и тепло. Артериальная кровь, движущаяся к поверхности кожи, обозначена красными линиями, а венозная кровь, движущаяся в обратном направлении – синими.

Расчетная схема для математической модели теплообмена в живой ткани приведена на рис. 2.

В качестве модельного объекта для одномерной модели теплообмена живой ткани принято плоское ребро, продольная теплопроводность которого равна теплопроводности ткани в отсутствии кровообращения (теплопроводности мертвой ткани). Ребро омывается потоком жидкости с теплопроводностью крови.

Расход артериальной крови, движущейся от основания ребра к его концу, равен расходу венозной крови в обратном направлении. В данной модели принято, что теплообмен крови с окружающей средой происходит не прямо, а через слой ткани. Иными словами, тепло из окружающей среды подводится или отводится от конца ребра.

Уравнение теплопроводности для ребра единичной ширины, омываемого с двух сторон потоком крови, артериальной − от основания к концу ребра и венозной  от конца к основанию ребра, можно представить в виде:

,

где Т – текущая температура тела, K; Т_а – текущая температура артериальной крови, K; Т_в – текущая температура венозной крови, K; х – координата, м; α – тепловое сопротивление теплоотдачи от движущейся крови к стенкам сосудов, приведенное к единичному объему ткани; (равно произведению коэффициента теплоотдачи и общей поверхности сосудов в единичном объеме ткани), Вт/(м³К); λ – теплопроводность ткани без учета кровообращения (теплопроводность мертвой ткани), Вт/(мК); δ – относительная величина объема ткани без объема крови, движущейся в сосудах, м³/м³.

Начало координат расположено на поверхности тела (на конце ребра).

Запишем уравнение теплового баланса для элементарного объема артериальной крови:

,

где G – интенсивность кровообращения, равная объему крови, протекающему через единичное сечение ткани в единицу времени, м³/(м²с); Ср – объемная теплоемкость крови, Дж/(м³К).

Интенсивность кровообращения считается положительной величиной и одинаковой в любом сечении ткани. Направление движения крови учитывается знаками в соответствующих уравнениях. Поэтому уравнение теплового баланса для элементарного объема венозной крови выглядит так:

.

Вместе эти три уравнения формируют замкнутую систему дифференциальных уравнений, которые в операторной форме записываются следующим образом [1]:

(1)

где S  оператор дифференцирования по координате; Т_ао – температура артериальной крови у конца ребра (у поверхности тела); Т_bо – температура венозной крови у конца ребра; Т_о – температура конца ребра; DT_o – значение производной от температуры по координате у конца ребра.

Для удобства в дальнейшем будем использовать для обозначения потока артериальной крови более привычный технический термин – прямой поток, а для венозной крови – обратный поток.

Как и следовало ожидать, уравнения для прямого и обратного потоков крови оказались симметричны.

Для решения полученной системы уравнений необходимо задаться граничными условиями и перевести их в операторную форму.

Зададимся на торце ребра граничными условиями третьего рода, которые в операторной форме могут быть представлены в виде:

,

где Т_ср – температура окружающей среды, K; β – коэффициент теплоотдачи от конца ребра, Вт/(м²К).

На другом конце ребра задаемся граничными условиями первого рода, при которых температура основания ребра постоянна и равна температуре в глубине тела.

После решения системы дифференциальных уравнений (1) относительно переменных Т, Т_а и Т_в, при помощи формул из операторного исчисления [1], переходим к обычной форме уравнений:

где h – высота ребра; − безразмерные параметры.

Для того чтобы воспользоваться полученным решением необходимо подставить в него значения ряда констант: температуры поверхности тела, а также температур прямого и обратного потоков крови у поверхности тела. Очевидно, что эти параметры зависят от температуры окружающей среды, интенсивности кровотока и других величин, входящих в найденное решение. Поэтому для определения этих, пока неизвестных параметров решения, зададимся тремя другими параметрами.

Будем считать известными такие параметры:

• глубину рассматриваемого участка живой ткани, h;

• температуру в глубине тела Т(h)=T_h;

• температуру артериальной крови в глубине тела, которую примем равной температуре тела, т.е. Та(h)=T_h;

• температуру венозной крови у поверхности тела, которую примем равной температуре поверхности тела, т.е. Т_вo=T_o.

Последние два условия означают, что артериальная кровь, поступающая из глубины тела, находится в тепловом равновесии с телом, а венозную кровь, уходящую от поверхности кожи считаем находящейся в тепловом равновесии с самыми верхними слоями кожи.

Теперь можно выразить неизвестные параметры, входящие в общее решение, через заданные параметры на границах рассматриваемой области. В результате получим систему трех уравнений с тремя неизвестными. Решив эту систему и подставив полученные числа в общее решение можно получить следующие зависимости: температуры тела, а также температур венозной и артериальной крови от расстояния до поверхности тела.

Но прежде чем приступить к вычислениям, необходимо задаться константами, входящими в исходную систему дифференциальных уравнений. В качестве значений этих констант выберем типичные их значения для человека, которые приводятся в справочной литературе [2].

Рассмотрим распределение температур в участке живой ткани глубиной в 1 см. Для этого задаемся h=0,01м. Температуру тела на этой глубине будем считать равной 36,6°С, поэтому T_h=36,6ºC. Теплопроводность ткани в отсутствии кровообращения примем приблизительно равной теплопроводности воды λ=0,6 Вт/(мК). Объемную теплоемкость крови также считаем равной объемной теплоемкости воды Ср=4190 Дж/(м³К).

Среднюю интенсивность кровообращения зададим из следующих соображений. Объем крови, который выталкивается сердцем, равен примерно 5,0 л/мин [2]. При массе тела равной 75 кг получаем среднее значение интенсивности кровообращения порядка G=0,0017 м³/(м²·с).

Коэффициент теплоотдачи от конца ребра принят равным β=5Вт/(м²·К).

Тепловое сопротивление теплоотдачи от движущейся крови к стенкам сосудов подобрано таким образом, чтобы средняя температура поверхности тела в условиях теплового комфорта получилась равной 34°С (температура среды принята равной 22°С). Это соответствует среднестатистическому значению поверхности тела человека [2].

Тепловое сопротивление теплоотдачи от движущейся крови к стенкам сосудов в единичном объеме ткани, при котором температура поверхности тела равна 34°С, оказалось равным α=450Вт/(м³К).

Таким образом, определением теплового сопротивления теплоотдачи от движущейся крови фактически произведена настройка математической модели. Это позволяет анализировать не только качественные, но и количественные результаты, получаемые при использовании созданной математической модели.

На рис. 3 приведен график расчетной зависимости температуры тела и температур артериальной и венозной крови от расстояния до поверхности тела при температуре окружающей среды равной 22°С.

Из графика видно, что все три температуры изменяются нелинейно по мере увеличения расстояния от поверхности тела.

На рис. 4 изображен график расчетной зависимости температуры поверхности тела от интенсивности кровообращения при температуре окружающей среды равной 22°С. В целом, полученная расчетная зависимость соответствует нашим представлениям о возможном значении температуры кожи человека.

Приведенный график позволяет также утверждать, что построенная математическая модель, по крайней мере, качественно согласуется с нашим повседневным опытом. При сокращении сосудов, интенсивность кровообращения в коже уменьшается, кожа бледнеет, а ее температура понижается. И, наоборот, при расширении кровеносных сосудов, интенсивность кровообращения в коже возрастает, кожа розовеет, и ее температура повышается.

Можно также утверждать, что в выбранном диапазоне значений интенсивности кровообращения (G=0,0008…0,0034 м³/(м²·с)), математическая модель дает вполне правдоподобные и не противоречивые результаты.