Лабораторная работа № 10. Производные высших порядков, ряд Тейлора.

Если функция f:ХR,xR,дифференцируема в xX,то на множестве X возникает функция f  :XR,значение которой в точке xX равно производной f  (x).Если же функция f  :XR имеет производную (f ):XR на множестве x,то (f )(x) называется второй производной функции f(x) и обозначается f (x) или . Если f (x) имеет производную (f (x)),то эта производная называется третьей производной функции f(x) или производной третьего порядка функции f(x) и обозначаются одним из символов f (x),f⁽³⁾(x),

Производная n-го порядка является производной от производной

(n-1) порядка, т.е.

f⁽ⁿ⁾=(f^(n-1))^/ (x)

Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков и обозначаются у^//,у^///,у⁽⁴⁾,…у⁽ⁿ⁾,

Производные n-го порядка некоторых элементарных функций:

1. ( ^x)⁽ⁿ⁾= ^xlnⁿx ( )

2. (sinx)⁽ⁿ⁾=

3. (x^m)⁽ⁿ⁾=m(m-1)…(m-n+1)x^m-n

4. (e^x)⁽ⁿ⁾=e^x

5. (cosx)⁽ⁿ⁾=

6. (lnx)⁽ⁿ⁾=

Если функции u=(x) и v=(x) имеют производные n-го порядка (n- кратно дифференцируемы),

(1)

Пример 1: Вычислить n-ю производную (n2) функции y=x²cosx .

Решение: полагая u=cosx и v=x², найдем

u⁽ⁿ⁾=cos(x+nп/2), v^'=2x, v^''=2,v^''''=v⁽⁴⁾=…=0.

Подставляя в формулу (1), получаем

y⁽ⁿ⁾=c⁰_ncos(x+nп/2)x²+c¹_ncos(x+(n-1)п/2)2x+c²_ncos(x+(n-2)п/2)2

Формула (1) называется формулой Лейбница.

Опр. Функция у называется заданной параметрически, если зависимость между у и х задана системой уравнений

,tT

П роизводные этой функции могут быть найдены по формулам:

Пример 2. Найти производные от функции y=y(x) , заданной параметрически если x=acost, y=asint

Решение:

Формула Тейлора. Пусть функция f(x) имеет в точке а и некоторой ее окрестности производные порядка n+1. Пусть х-любое значение аргумента из указанной окрестности, х=а. Тогда между точками а и х найдется точка  такая, что справедлива следующая формула:

Частный, простейший вид формулы Тейлора при а=0 принято называть формулой Маклорена:

Пример 3. Разложить в ряд Тейлора функции у=1/х при а=-2.

Решение: вычисляем значения данной функции и ее производных при х=а=-2

Подставляя эти значения в формулу Тейлора для произвольной функции, получим

ВАРИАНТЫ.

1. Найти

2. Доказать, что функция у удовлетворяет соотношению:

2. Используя формулу Лейбница, найти:

2. Используя формулу Тейлора, разложить функцию y=f(x) по степеням (х-х );

Лабораторная работа №11. Правило Лопиталя и его применение к нахождению предела функции.

Кроме элементарных способов, весьма эффективным средством для нахождения предела функции в указанных особых случаях является следующее правило Лопиталя:

Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных, если он существует или равен бесконечности.

1. Случаи нахождения предела:

1. - когда функция представляет отношение двух бесконечно малых величин;

2. - когда функция представляет отношение двух бесконечно больших величин

В этих случаях (по правилу Лопиталя) можно заменять отношение величин отношением их производных, т.е. если одновременно стремятся к нулю или бесконечности при или , то

или

Замечание: Если последний предел существует или равен бесконечности, то он будет равен искомому пределу.

Если же отношение производных также будет представлять случай или , то можно снова и снова применять правило Лопиталя, если это полезно, до получения результата.

Пример 1. Найти

Решение: