1.1 Приближённое число
Определение 1. Приближённым числом a называется число, незначительно отличающееся от точного A и заменяющее последнее в вычислениях.
Если a есть приближённое значение числа A, то пишут a A, при этом:
если известно, что a < A, то a называется приближённым значением числа A по недостатку.
если известно, что a > A, то a называется приближённым значением числа A по избытку.
Например,
поскольку известно, что 1.41 <
<
1.42 ;
то для числа A
=
число a
= 1.41 будет
приближённым значением по недостатку,
а число a
= 1.42 будет
приближённым значением по избытку.
Очевидно, что использование в расчётах вместо точного числа A его приближённого значения a повлечёт за собой появление ошибки или погрешности в полученном результате.
1.2 Погрешность как ошибка между точным числом и его приближённым значением
Определение 2. Под ошибкой или погрешностью a приближённого числа a понимается разность между соответствующим точным числом A и данным приближением a, т.е.
a = A a. (1)
Если A > a, то ошибка положительна: a > 0,
если A < a, то ошибка отрицательна: a < 0.
Чтобы получить точное число A нужно к приближённому числу a прибавить его ошибку a, т.е.
A = a + a.
Следовательно, точное число также можно рассматривать как приближённое число с ошибкой равной нулю.
Во многих случаях знак ошибки неизвестен. Тогда целесообразно пользоваться абсолютной погрешностью приближённого числа = a.
1.3 Абсолютная погрешность приближённого числа
Определение 3. Абсолютной погрешностью приближённого числа a называется абсолютная величина разности между соответствующим точным числом A и его приближённым значением a:
a = = A a (2)
Если известна абсолютная погрешность = a приближённого числа a, то из формулы (2) следует, что точное число A заключено в границах:
A = a a.
A = a + a.
На практике принципиально различаются два случая.
Случай, когда число A нам известно, тогда абсолютная погрешность приближённого числа a легко определяется по формуле (2).
Случай, когда число A нам неизвестно (что практически чаще всего и случается), и, следовательно, невозможно определить абсолютную погрешность по формуле (2). В этом случае вместо неизвестной теоретической абсолютной погрешности целесообразно вести её оценку сверху, т.е. рассмотреть так называемую предельную абсолютную погрешность.
1.4 Предельная абсолютная погрешность приближённого числа
Определение 4. Под предельной абсолютной погрешностью a приближённого числа a понимается всякое число, не меньшее (теоретической) абсолютной погрешности этого числа.
Таким образом, если a предельная абсолютная погрешность приближённого числа a, заменяющего точное A, то верно неравенство:
= A a a. (3)
Отсюда следует, что точное число A всегда заключено в границах:
a a A a + a. (4)
Следовательно,
a a есть приближение точного числа A по недостатку;
a + a есть приближение точного числа A по избытку.
В этом случае для краткости пользуются следующей записью:
A = a a.
Величину a также называют и границей абсолютной погрешности приближённого числа a.
Из определения 4 следует, что под предельной абсолютной погрешностью приближённого числа a понимается любой элемент бесконечного множества неотрицательных чисел a, удовлетворяющих неравенству: a.
Следовательно, любое число, большее предельной абсолютной погрешности данного приближённого числа, тоже может быть принято за предельную абсолютную погрешность этого числа.
На практике в качестве a целесообразно выбирать возможно меньшее при данных обстоятельствах число, удовлетворяющее неравенству a.
Так при записи приближённого числа, полученного в результате измерения, обычно отмечают его предельную абсолютную погрешность, характерную для данной (проводимой) измерительной процедуры.
Например, пусть измерительная процедура состоит в определении длины отрезка, и пусть при этом измеренная длина отрезка составляет l = 214 см с точностью до 0.5 см, в этом случае пишут, что l = 214 см 0.5 см. Из данной записи следует, что предельная абсолютная погрешность измерения l = 0.5 см, а точное значение длины отрезка заключено в интервале 213.5 см l 214.5 см.