Вычисление обратной матрицы методом Гаусса.
Метод Гаусса используется также для вычисления обратной матрицы. Пусть дана неособенная матрица А с элементами [aij] (i, j = 1,2,…, n). Для нахождения обратной к А матрицы А1 с элементами А1 = [xij] (i, j = 1,2,…, n) (в соответствии с определением обратной матрицы) используем соотношение А А1 = Е, где Е – единичная матрица n –го порядка.
Е
=
;
A
=
;
A
1 =
;
Поскольку А А1 = Е = ,
то
каждый
j
- й
столбец
xj
=
;
матрицы А1
удовлетворяет уравнению:
А xj = ej, (15)
где для каждого j = 1,2,…, n ej – вектор-столбец, у которого j - я компонента равна единице, а остальные компоненты равны нулю:
e1
=
;
e2
=
;
…, ej
=
;
…, en
=
.
Таким образом, вычисление обратной матрицы сводится к решению п систем вида (15) для j = 1,2,…, n, отличающихся друг от друга только правыми частями. То есть
решая
п
систем
вида (15), находим п
векторов
вида xj
=
,
которые в совокупности и образуют
искомую обратную матрицу A
1 =
.
Пример 1. Найти точное решение системы уравнений методом Гаусса (без выделения главного элемента).
Решение.
Прямой ход. В соответствии со схемой метода Гаусса приводим исходную систему к диагональному виду методом последовательного исключения переменных.
Обратный ход. Находим значения переменных из преобразованной системы с треугольной матрицей:
x
=
.
Заключение (план - аннотация лекции №5).
Лекция 5 посвящена изучению численных методов решения систем линейных алгебраических уравнений.
Приведена общая характеристика методов решения систем линейных уравнений в рамках сложившейся в литературе классификации на две основные группы: на точные или прямые методы и итерационные методы решения. Отмечено, что вследствие погрешностей округления при решении задач на ЭВМ прямые (или точные) методы на самом деле не приводят к точному решению СЛАУ и назвать их точными можно, лишь отвлекаясь от вычислительной погрешности!
В лекции рассмотрен наиболее распространенный из прямых методов решения СЛАУ метод Гаусса. Получены расчётные формулы для решения СЛАУ методом Гаусса. Рассмотрены основные вычислительные свойства и ограничения метода Гаусса. Приведена модернизированная схема решения СЛАУ методом Гаусса с выделением главного (или ведущего) элемента. Даны численные алгоритмы для реализации вычислительных процессов решения на компьютере СЛАУ методом Гаусса и методом Гаусса с выделением главного (или ведущего) элемента.
Приведён алгоритм уточнения значений корней СЛАУ, полученных методом Гаусса. Рассмотрено применение метода Гаусса к вычислению определителей и обращению матриц.
Литература
В.М. Вержбицкий. Основы численных методов. – М.: Высшая школа, 2002 - 840 с.
Б.П. Демидович и И.А. Марон. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1970. – 664 с.
Мастяева И.Н., Семенихина О.Н. Численные методы: Учебное пособие / Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права. – М.: МЭСИ М., 2003. – 102 стр.