Замечание

1. Из формул (17) – (19) видно, что при увеличении числа n элементарных отрезков, на которые разбивается промежуток интегрирования [a, b], ошибка численного интегрирования по формуле средней точки (9) убывает пропорционально квадрату шага h.

2. Также можно показать [3, стр. 471], что погрешность численного интегрирования непрерывно-дифференцируемой функции f(x) по формулам левых и правых прямоугольников (7), (8) убывает лишь по линейному закону, т.е. лишь пропорционально шагу h.

Связь погрешности квадратурной формулы прямоугольников с шагом интегрирования.

Из выражений (17) - (19), полученных для ошибки и остаточной погрешности формулы прямоугольников, можно определить, каким должно быть число n элементарных промежутков [x_i1, x_i.] на отрезке [a, b] или, иначе, каким должен быть шаг h разбиения отрезка интегрирования [a, b], чтобы, используя формулу средней точки, можно было бы найти значение определённого интеграла I с наперёд заданной точностью e.

Действительно, пусть интегрируемая функция f(x) является дважды непрерывно дифференцируемой на [a, b], т.е. f(x)С²_{[a, b]}, тогда согласно формуле (19) остаточная погрешность _П формулы прямоугольников определяется выражением:

_П =

Пусть далее задана величина предельной погрешности e (e >0), допустимая при вычислении интеграла I с использованием формулы средней точки I^П с шагом интегрирования h = [b - a]/n. Следовательно, для того чтобы вычислить интеграл (16) с требуемой точностью необходимо потребовать, чтобы

_П , где M₂ = max½f (x)½_{xÎ[a, b]}.

Отсюда получаем, оценку для величины шага разбиения отрезка [a, b], при которой погрешность вычисления интеграла I по формуле средней точки не превысит заданной величины e.

, (21)

3. Квадратурные формулы Ньютона  Котесса.

Общие замечания. Как уже отмечалось выше обычный подход, используемый при построении механической квадратуры, состоит в том, что данную функцию y = f(x) на рассматриваемом отрезке [a, b] заменяют интерполирующей или аппроксимирующей её функцией j(x) простого вида [4, стр. 580] (например, полиномом), а затем приближённо полагают:

при этом функция j(x) должна быть такой, чтобы интеграл: вычислялся непосредственно, т.е. не приближённо, а в аналитическом виде  через первообразную  по формуле Ньютона – Лейбница (1).

Если в качестве аппроксимирующей функции используют интерполяционный полином Лагранжа, то получаемые квадратурные формулы называются квадратурными формулами Ньютона-Котесса.

В этом случае при замене функции y = f(x) полиномом L_n(x), получим равенство:

где слагаемое обозначает ошибку квадратурной формулы (22), обусловленную подменой функции y = f(x) интерполяционным полиномом L_n(x).

Таким образом, воспользовавшись выражением (22), получаем приближённую квадратурную формулу.

В случае если пределы интегрирования a и b являются узлами интерполирования, то квадратурная формула (23) называется формулой замкнутого типа, если нет, то формулой открытого типа.

Вывод явного вида формулы Ньютона  Котесса.

Получим явные выражения для формулы (23) замкнутого типа, при условии, что отрезок интегрирования [a, b] разбит на n равных частей, с помощью системы равноотстоящих точек:

x₀ = a, x_i = x₀ + ih, (i = 1, 2,…, n - 1), x_n = b, h = [b - a]/n.

Также считаем, что функция y = f(x) задана на данной системе равноотстоящих узлов разбиения, т.е. в узлах x_i известны значения: f(x_i) = y_i, (i = 0, 1, 2,…, n).

Задача заключается в приближённом вычислении интеграла по формуле (23). Для её решения по известным значениям y_i функции y = f(x) в узлах сетки строим интерполяционный полином Лагранжа L_n(x), такой, что L_n(x_i) = y_i, (i = 0, 1, 2,…, n).

В лекции 1 отмечалось, что первоначальное выражение для интерполяционного полинома Лагранжа:

можно записать в более компактном виде:

L_n(x) = (24),

через вспомогательные полиномы:

= и

П^׳_n+1(x_i) = .

Здесь П^׳_n+1(x_i) - значение производной от полинома в i-том узле.

Поэтому с учётом (24) для принятой системы разбиения узлов формулу (23) можно переписать в виде:

Поскольку отрезок интегрирования [a, b] разбит на n равных частей, с помощью системы равноотстоящих точек, то выражение (24) для полинома Лагранжа можно преобразовать, делая замену переменной x = x₀ + qh, где q = (x - x₀)/h.

Из выражений x = x₀ + qh и x_i = x₀ + ih, следует, что x - x_i = x₀ + qh - x₀ - ih = h(q - i).

Поэтому, выражение =

можно переписать в виде: .

И, следовательно, формула (24) может быть преобразована к виду:

L_n(x) = (26)

Далее необходимо преобразовать выражение:

П^׳_n+1(x_i) = .

Учитывая, что при равномерном разбиении отрезка [a, b] на n равных частей с шагом h:

x_i - x₀ = ih, x_i - x₁ = (i - 1)h, x_i - x₂ = (i - 2)h, …., x_i - x_{i 1} = h,

x_i - x_i+1 = - h, x_i - x_{i+ 2} = - 2h, …, x_i - x_n = - (n - i)h.

получим, что

П^׳_n+1(x_i) = = hⁿ (-1)^n1 i! (n - i)!

Подставляя это в (26) получим:

L_n(x₀ + qh) (27)

Прежде чем выражение (27) подставить в квадратурную формулу (23), в формуле (23) также необходимо сделать замену переменной интегрирования, т.е. от интегрирования по x перейти к интегрированию по q.

Поскольку q = (x - x₀)/h, то пределы интегрирования по x от x₀ до x_n соответствуют интервалу изменения q от q = 0 до q = n, и поскольку x = x₀ + qh, то dx = hdq. В результате получаем:

и поскольку h = [b - a]/n, то последнюю формулу можно переписать в виде:

(28)

Таким образом, окончательно получена квадратурная формула Ньютона–Котесса:

I (29)

где H_i - коэффициенты Котесса, соотношением:

. (30)

Выражения (29) – (30) определяют целое семейство квадратурных формул, параметром которого является число n – степень интерполяционного полинома L_n(x), которым заменяется подынтегральная функция y = f(x).

Далее мы рассмотрим несколько частных случаев, получаемых из формул (29) – (30) при небольших значениях степени n интерполяционного полинома  L_n(x). При этом (в силу тождественности полиномов Лагранжа и Ньютона на сетке равноотстоящих узлов) при получении конкретных формул Ньютона - Котесса, вместо полинома Лагранжа L_n(x), фигурирующего в формулах (28), (29), для простоты будем использовать эквивалентный ему первый интерполяционный полином Ньютона:

P_n(x₀ + qh) = y₀ + qDy₀ + + … +