1 Формування системи нелінійних алгебраїчних рівнянь вузлових напруг у формі балансу струмів

Система нелінійних алгебраїчних рівнянь вузлових напруг у формі балансу струмів у матричному вигляді записується так:

(1)

де      Yy– комплексна матриця вузлових провідностей порядку n, де n – число незалежних вузлів ( у завданні n=3 ),

Uу – матриця-стовпець невідомих міжфазних напруг вузлів,

J(Uу) – матриця-стовпець нелінійних джерел струмів, залежних від напруг; кожен елемент цієї матриці J_k(U_k) = _k / _k, де _k - спряжений комплекс заданої потужності з трьох фаз k-го вузла (для генераторних вузлів зі знаком плюс, для навантажувальних - зі знаком мінус)_{, k} - спряжений комплекс міжфазної напруги k-го вузла;

Yб – матриця-стовпець взаємних провідностей між балансуючим і іншими вузлами; якщо вузол k не зв'язаний з балансуючим, то Ykб = 0;

Uб – міжфазна напруга базисного вузла, що збігається з балансуючим (у завданні - це вузол 4); як правило, вектор напруги базисного вузла орієнтують уздовж позитивного напрямку дійсної осі комплексної площини, тому Uб=U_б=U₄ ;  _б = 0.

У рівнянні (1) елементи матриць Yу , Yб виражені в Сименсах, Uу , Uб – у кВ, J - у кА, S – у МВА.

Формування рівняння вузлових напруг (1) починають із розрахунку елементів матриці вузлових провідностей, для чого необхідно:

1.1 Кожній вітці схеми заміщення поставити у відповідність деякий довільно обраний напрямок, зобразити спрямований граф електричної мережі, пронумерувати його вершини (вузли) і ребра (вітки), указати напрямок останніх, відзначити балансуючий вузол, скласти першу матрицю з'єднань M (матрицю з'єднань віток і вузлів) і транспоновану матрицю M_t .

1.2 Скласти діагональну матрицю опорів віток схеми Zв і знайти обернену їй матрицю Zв^-1 , тобто матрицю провідностей віток Yв. Її елемент для i-ї вітки за вихідними даними завдання розраховується так:

,

чи інакше

,

.

1.3 Знайти матрицю вузлових провідностей Yу:

.

Матриця вузлових провідностей може бути складена без виконання операцій множення зазначених матриць безпосередньо за схемою заміщення мережі з урахуванням провідностей її віток. При збігу базисного і балансуючого вузлів матриця Yу симетрична щодо головної діагоналі, кожен її діагональний елемент дорівнює сумі провідностей віток, зв'язаних з к-м вузлом, а кожен недіагональний елемент дорівнює узятій зі знаком мінус сумі провідностей віток, що з'єднують i-й і j-й вузли схеми.

У результаті матриця вузлових провідностей для умов завдання набирае вигляду

,

чи при поділі на матриці активних і реактивних складових вузлових провідностей:

. (2)

Елементи матриць і в (2) рекомендується знаходити за наведеним вище алгоритмом безпосередньо за схемою заміщення мережі з урахуванням розрахованих у п.1.2 провідностей віток. Спочатку розраховуються всі складові взаємних провідностей між вузлами к і j :

, ,

де к, j = 1,2,3, к j;

m – число паралельних віток, що з'єднують к-й і j-й вузли,

- активна і реактивна складові провідності вітки i (для умов завдання обидві додатні).

Складові власної провідності вузла k :

, ,

де l – число віток, зв'язаних з к-м вузлом.

У (2) для даних умов усі діагональні елементи і додатні, а недіагональні , - від’ємні. При розрахунках елементів матриці вузлових провідностей не слід робити занадто грубих округлень, зберігаючи для значень g і b до чотирьох значущих цифр.

При розв’язку на комп'ютері рівняння (1) вузлових напруг, як правило, приводяться до системи дійсних рівнянь порядку 2n, де n- число незалежних вузлів.

Підставимо в (1) згідно з (2), , а також і , де - матриці - стовпці дійсних і уявних складових напруг вузлів і джерел струмів. Прирівнявши окремо дійсні й уявні матричні складові, одержуємо систему рівнянь з дійсними змінними, яка з метою підвищення стійкості обчислювального процесу записується в матричному вигляді так:

. (3)

Система рівнянь (3) у розгорнутому вигляді для умов завдання записується таким чином:

= ,

чи у вигляді системи алгебраїчних рівнянь, враховуючи, що для к-го вузла дійсна й уявна складові джерел струму визначаються виразами

Тоді одержуємо

(4)

Далі слід підставити в (4) значення активних і реактивних складових провідностей, активних і реактивних потужностей вузлів, що розраховуються за вихідними даними завдання: , , k = 1,2,3, напругу базисного вузла . Слід пам'ятати, що в (4) складові провідностей між кожним к-м вузлом і базисним , так само як і усі від’ємні, а складові власних провідностей вузлів додатні.