5.2 Вторая формула Милна – формула уточнения.

Проинтегрируем уравнение (3) на промежутке [x_i1, x_i+1]:

и применим к интегралу простейшую формулу Симпсона:

, где _i(x_i-1, x_i+1).

В результате получим:

(38)

Отбрасывая в формуле (38) слагаемое , характеризующее ошибку квадратурной формулы Симпсона и заменяя значения решения y(x _i1) и y(x _i) известными приближёнными значениями y _i1 и y _i, а стоящее в правой части (38) в качестве аргумента функции f(x _i+1, y(x _i+1)) значение y(x_i+1) значением , полученным по первой (явной) формуле Милна (36), приходим ко второй интерполяционной (и неявной) формуле Милна – формуле уточнения.

(39)

Оценка шаговой погрешности второй формулы Милна.

Для вывода приближённой оценки шаговой погрешности метода Милна воспользуемся приближённым равенством, связывающим производные и конечные разности , где так же, как и в (37),  условная запись практически постоянных четвёртых разностей. Иногда в качестве величины в формуле берут максимальную четвёртую разность из четвёртых конечных разностей в используемой части таблицы конечных разностей.

Исходя из точного равенства (38), локальную погрешность получаемого с помощью формулы (39) приближённого значения y_i+1 можно приближённо охарактеризовать величиной . Поэтому, сравнивая выражения (38) и (39), можем написать:

или (40)

Далее приравнивая правые части выражений (37) и (40):

 и

получим:

(41)

Следовательно, сравнивая выражения (40) и (41), окончательно получаем:

(42)

Таким образом, при численном интегрировании начальной задачи (1), (2) методом Милна четвёртого порядка, определяемым формулами (36), (39), на каждом i - м шаге следует вычислять величину

(43)

и сравнивать её модуль с величиной  > 0 допустимой шаговой погрешности. Если d_i+1< , то за y(x_i+1) принимается полученное по второй формуле Милна (39) значение y_i+1 (или его уточнённое значение y_i+1  y_i+1 + d_i+1); иначе шаг должен быть уменьшен.

Фигурирующая в приближённом равенстве (42) постоянная 1/29 примерно в двое меньше постоянной (19/270)  (1/14) в аналогичном равенстве

y(x _i+1)  y^М_i+1 = (y^М_i+1  y^Б_i+1). (33)

для предиктор-корректорного метода Адамса четвёртого порядка

(28)

это характеризует метод Милна как несколько более точный при одинаковых вычислительных затратах.

6. Сведение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений первого порядка к задаче Коши для оду первого порядка с использованием векторных обозначений.

Пусть имеется система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешённых относительно производных. Задача Коши для такой системы дифференциальных уравнений формулируется в следующем виде:

(45)

Введём следующие векторные обозначения:

(46)

Используя введённые векторные обозначения (46) задача Коши (44), (45) для системы дифференциальных уравнений первого порядка (44) может быть переписана в виде:

, (47)

который имеет точно такую же форму, как и рассматриваемая выше задача Коши:

y(x) = f (x, y), x [x₀, b] (1)

y(x₀) = y₀ (2)

К полученному векторному дифференциальному уравнению (47) применимы все численные методы, изучавшиеся в рамках данной темы, поскольку все рассмотренные методы имеют линейную структуру (т.е. если реализацию какого-либо из рассмотренных методов решения задач Коши представить как действие соответствующего линейного оператора).

При таком подходе скалярными величинами в формулах, определяющих методы, являются только независимая переменная x и расчётный шаг h; всем остальным величинам соответствуют введённые выше векторные величины размерности n.

Следует лишь учесть, что в этом случае при контроле пошаговой или глобальной точности методов вместо модуля нужно использовать норму вектора (например, норму - максимум).

Заключение (план - аннотация лекции №24).

В лекции 24 рассмотрены приближённые методы решения задачи Коши, основанные на интегрировании ДУ и последующей замене подынтегральной функции интерполирующим полиномом соответствующего порядка, данные методы известные в литературе под общим названием многошаговых методов Адамса.

Дан вывод формул экстраполяционного метода Адамса, рассмотрен подход к оценке его точности. Приведён интерполяционный метод Адамса, рассмотрены его частные случаи. Рассмотрены предиктор-корректорные методы Адамса, дан метод осуществления пошагового контроля погрешности вычислений при их применении.

Ещё одним методом прогноза и коррекции, рассмотренным в лекции, является метод Милна, в рамках которого получены две формулы – первая и вторая формулы Милна, которые используются соответственно для предсказания и уточнения (коррекции) искомого решения y(x) задачи Коши. Обсуждается роль первой и второй формулы Милна в процессе формирования решения задачи Коши для ОДУ. Дана оценка шаговой (локальной) погрешности метода Милна.

Сформулирована задача Коши для системы ОДУ первого порядка и дифференциального уравнения второго порядка. Дана схема сведение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений первого порядка к виду задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

Приведены примеры решения типовых задач.

Литература:

1. В.М. Вержбицкий. Основы численных методов. – М.: Высшая школа, 2002. – 840 стр.

2. Мастяева И.Н., Семенихина О.Н. Численные методы: Учебное пособие / Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права. – М.: МЭСИ М., 2003. – 102 стр.

3. Приклонский В.И. Численные методы. Лекционный курс, читаемый в МГУ. Адрес в Интернете ttp://afrodita.phys.msu.ru/download/priklonsky/lections/