4. Метод конечных разностей.

Универсальным численным методом решения дифференциальных уравнений является метод конечных разностей.

Идея метода конечных разностей совершенно ясна уже из его названия и заключается в том, что вместо производных в дифференциальном уравнении (2) используются их конечноразностные аппроксимации. Эта идея уже применялась при построении простейших разностных схем решения задач Коши (Лекция 6).

При таком подходе для краевой дифференциальной задачи будет получаться краевая же задача для разностного уравнения, что ведёт к необходимости решать алгебраическую систему.

Таким образом, для получения вместо дифференциального уравнения разностного уравнения необходимо:

1. заменить область непрерывного изменения аргумента дискретным множеством точек (сеткой);

2. заменить (аппроксимировать на сетке) дифференциальное уравнение разностным уравнением, используя соответствующие конечноразностные аппроксимации производных.

Ясно, что при построении дискретных аппроксимаций краевых дифференциальных задач нужно стремиться увязать две, возможно противоречивые цели:

• хорошее качество аппроксимации производных в уравнении (2);

• и эффективное и устойчивое решение получающихся при этом алгебраических систем.

Рассмотрим применение этого подхода к решению краевой задачи:

L [y]  y(x)+ p(x)y (x) + q(x) y(x) = f (x), x  [a, b], (2)

l_a[y]  ₀y(a) + ₁y(a) = A, (3)

l_b[y]  ₀y(b) + ₁y(b) = B. (4)

Введём на отрезке [a, b] сетку _h с шагом ,

_h = {x _ix _i = x₀ + ih (i = 0,1, …, n); x₀ = a, x_n = b}.

На этой сетке определяются сеточные функции:

p _i = p(x _i), q _i = q(x _i), f _i = f (x _i), (31)

отвечающие функциональным коэффициентам данного ДУ (2).

Точное решение данной краевой задачи (2)  (4) будем обозначать через y(x), а символом y_i  y(x_i) будем обозначать i-ю компоненту искомого каркаса приближённого решения.

Фиксируя в уравнении (2) x = x_i, с учётом обозначений (31) приходим к равенствам:

y(x_i)+ p_i y(x_i) + q_i y(x_i) = f_i i = 0,1, …, n (32)

где целая переменная i может принимать значения 0,1, …, n по числу узлов сетки, а под y(x_i), y(x_i), y(x_i) понимаются значения точного решения y (x) и его производных y(x_i), y(x_i) в i-м узле сетки.

Далее, в каждом внутреннем узле сетки _h, т.е. при i = 1, …, n  1, значения производных аппроксимируем конечноразностными отношениями по симметричным формулам второго порядка точности (см. лекция 4):

,

Отметим, что данные формулы для аппроксимации производной первого и второго порядка являются точными, поскольку содержат слагаемое .

Подставляя приведенные выше выражения для аппроксимаций производных y(x_i) и y(x_i) в формулу (32) для всех внутренних узлов i = 1, …, n  1 сетки _h получим:

(33)

Отметим, что уравнение (33) является точным «разностным эквивалентом» дифференциального уравнения (2), но в нём имеется неопределённое слагаемое . Опуская слагаемое в уравнении (33), приходим к разностному уравнению относительно приближённых значений (в соответствии с принятым обозначением y _i  y (x_i) ):

(34)

После приведения подобных слагаемых в уравнении (34) получаем стандартное разностное трёхточечное уравнение второго порядка:

, i = 1, …, n  1 (35)

Равенство (35) можно интерпретировать как компактную запись системы линейных алгебраических уравнений, неизвестными в которой являются значения искомого решения во всех узлах сетки (а не только в её внутренних узлах), т.е. система (35) состоит из n  1 уравнения и содержит в себе n + 1 неизвестное слагаемое y₀, y₁, y₂, …, y_n.

Два недостающих уравнения этой системы (или, по другой терминологии, краевые условия разностного уравнения (35) ), следует получить на основе краевых условий (3), (4) исходной краевой дифференциальной задачи.

Напомним что краевые условия (3), (4) исходной задачи содержат значения первой производной на границе отрезка [a, b]. Поэтому в краевых условиях (3), (4) для аппроксимации производных y(x₀) и y(x_n) на границе промежутка [a, b] возможно использование только несимметричных разностных отношений первого и второго порядка точности (см. лекция 4):

(36)

В соответствии с формулами (36) для значений y(x₀) = y(a) и y(x_n) = y(b) можем записать равенства:

или

или

Далее будем последовательно подставлять полученные аппроксимации для y(a) и y(b) в краевые условия (3) и (4) рассматриваемой краевой задачи (2) - (4). При этом вначале подставим аппроксимации первого порядка точности для y(a) и y(b), а затем уже аппроксимации второго порядка точности.

При подстановке в краевые условия (3) и (4) вместо y(a) и y(b) двухточечных разностных отношений (т.е. при использовании аппроксимаций первого порядка точности) получим соответственно:

и .

Отсюда после отбрасывания слагаемого , замены y(x_i) на y_i и упрощения данных выражений получаем приближённые краевые условия для разностного уравнения (35), или иначе, недостающие нулевое и n-е уравнения для соответствующей алгебраической системы (35), которые устанавливают связи между двумя неизвестными: и .

(37)

(38)

Аналогично при подстановке в (3) и (4) вместо y(a) и y(b) трёхточечных разностных отношений (т.е. при использовании аппроксимаций второго порядка точности) получим соответственно:

.

Отсюда после отбрасывания слагаемого , замены y(x_i) на y_i и упрощения получаем краевые условия для разностного уравнения (35), или иначе, недостающие нулевое и n-е уравнения для соответствующей алгебраической системы (35), которые устанавливают связи между тремя неизвестными:

(39)

(40)

Таким образом, исходная краевая задача заменена двумя вариантами систем алгебраических уравнений (условно первой и второй системой):

Первая система	(37) (35) (38)
, i = 0; , i = 1, …, n  1 , i = n;

Вторая система	(39) (35) (40)
, i = 0; , i = 1, …, n  1 , i = n;

Рассмотрим первую систему. Первая система уравнений относятся к типу ленточных систем, поскольку каждое её уравнение, за исключением первого и последнего, связывает три соседних неизвестных, а первое и последнее – два. Соответствующая первой системе матрица имеет трёхдиагональную структуру и к ней сразу применим высокоэффективный метод прогонки, изученный нами ранее.

Рассмотрим вторую систему. Вторая система уравнений в том виде как она получена и представлена выше ещё не имеет трёхдиагональной структуры, поскольку её первое и последнее уравнения (как и центральное уравнение (35) ) связывают три соседних неизвестных. Поэтому во втором случае для создания соответствующей методу прогонки трёхдиагональной структуры матрицы коэффициентов СЛАУ необходимо провести следующие преобразования:

• из уравнения (39) исключить неизвестное y₂ с помощью уравнения, получающегося из (35) при i = 1.

• из уравнения (40) исключить неизвестное y_{n  2} с помощью уравнения, получающегося из (35) при i = n  1.

Усложнения, сопутствующие второму варианту, могут быть оправданы тем, что в этом случае исходная дифференциальная краевая задача полностью аппроксимируется алгебраической системой относительно компонент каркаса решения с точностью .