Вопросы к экзамену

1 Семестр Линейная алгебра и аналитическая геометрия

1. Определители. Их свойства. Вычисления.

2. Исследование и решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

3. Матрицы. Линейные операции, их свойства. Умножение матриц.

4. Обратные матрицы. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

5. Векторы. Линейные операции. Свойства.

6. Базис. Разложение по базису. Декартов базис.

7. Скалярное произведение векторов. Свойства. Законы. Вычисление в координатной форме.

8. Векторное произведение. Свойства. Геометрический смысл. Вычисление в координатной форме.

9. Смешанное произведение векторов. Свойства. Вычисление в координатной форме.

10. Различные случаи задания прямой. Уравнение прямой на плоскости.

11. Различные случаи задания плоскости. Уравнение плоскости.

12. Прямая в пространстве. Общее, каноническое, параметрическое уравнения.

13. Взаимное расположение прямых в пространстве, плоскостей, прямой и плоскости.

14. Определение эллипса. Каноническое уравнение. Свойства.

15. Определение гиперболы. Каноническое уравнение. Свойства.

16. Определение параболы. Каноническое уравнение. Свойства.

Математический анализ

1. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности.

2. Предел функции в точке.

3. Бесконечно малые функции и их свойства.

4. Замечательные пределы и их следствия.

5. Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций.

6. Точки разрыва функции и их классификация.

7. Производная функция, ее геометрический и механический смысл.

8. Производная суммы, произведения и частного.

9. Производная сложной функции.

10. Обратная функция. Непрерывность и дифференцируемость обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.

11. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции.

12. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы дифференциала.

13. Производные и дифференциалы высших порядков.

14. Правило Лопиталя.

15. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия максимума и минимума.

16. Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке.

17. Исследование на максимум и минимум с помощью производных высших порядков.

18. Исследование функции на выпуклость. Точки перегиба.

19. Асимптоты кривых.

20. Общая схема исследования функции и построение графиков.

2 Семестр

1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла.

2. Основные свойства неопределенного интеграла.

3. Таблица интегралов.

4. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, интегрирование подстановкой, интегрирование по частям.

5. Интегрирование некоторых рациональных дробей.

6. Понятие определенного интеграла и его основные свойства.

7. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.

8. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

9. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.

10. Определение дифференциального уравнения, его решения. Общее и частные решения дифференциальных уравнений первого и второго порядков.

11. Задача Коши для дифференциального уравнения первого и второго порядков. Геометрический и механический смысл начальных условий.

12. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными: P(x)dx+Q(y)dy=0. Нахождение общего и частного решений.

13. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка, уравнение Бернулли. Отыскание его общего и частного решений.

14. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, нахождение их общих и частных решений.

16. Определение функции двух переменных, область определения функции, геометрическое изображение функции двух переменных.

17. Частные производные первого порядка для функции двух переменных, их вычисление.

18. Полный дифференциал функции двух переменных.

19. Производные высших порядков для функции двух переменных.

20. Определение локальных экстремумов для функции двух переменных.

21. Необходимое и достаточное условия экстремума для функции двух переменных.

22. Правило исследования на экстремум для функции двух переменных.

23. Числовые ряды. Понятие сходимости.

24. Признаки сходимости знакоположительных рядов.

25. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Понятие абсолютной и условной сходимости.

26. Степенные ряды. Область сходимости, радиус сходимости.

27. Применение степенных рядов.

Литература