Теорема умножения вероятностей
Определение. События А и В называют зависимыми, если вероятность одного из них зависит от наступления или не наступления другого. В противном случае события называют независимыми.
Несовместные события зависимы, так как появление любого из них обращает в нуль вероятность появления всех остальных.
В случае зависимых событий вводится понятие условной вероятности.
Определение. Условной вероятностью P(A|B) события А называется вероятность, вычисленная при условии, что событие В произошло. Аналогично, через P(B|A) обозначается условная вероятность события В при условии, что А наступило.
Для независимых событий по определению P(A|B) = P(A); P(B|A) = P(B)
Теорема умножения для зависимых событий
Вероятность произведения зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое произошло:
P(A ∙ B) = P(A) ∙ P(B|A) P(A ∙ B) = P(B) ∙ P(A|B)
(в зависимости от того, какое событие произошло первым).
Следствия из теоремы
Теорема умножения для независимых событий. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей:
P(A∙B) = P(A) ∙ P(B)
Если А и В независимы, то независимы и пары: ( ;
),
(
;
В), (А;
).
Примеры задач на теорему умножения:
Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Решение. Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156.
Ответ: 0,156.
По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
Решение. Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна 1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар равна 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: 0,1 · 0,2 = 0,02.
Ответ: 0,02.
В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. Решение. Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,05 · 0,05 = 0,0025. Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,0025 = 0,9975.
Ответ: 0,9975.