2. Практическая часть

2.1 Составление математической модели задачи планирования производства

Задача. Предприятие предполагает выпускать два вида продукции А1 и А2, для производства которых используется сырьѐ трех видов. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количествах: b1, b2, b3 кг. На изготовление единицы изделия А1 требуется затратить сырья каждого вида а11, а21, а31 кг, соответственно, а для единицы изделия А2 - а12, а22, а32 кг. Прибыль от реализации единицы изделия А1 составляет с1 ден.ед., для единицы изделия А2 - с2 ден.ед.

Требуется составить план производства изделий А1 и А2 обеспечивающий максимальную прибыль предприятия от реализации готовой продукции.

Таблица 2.1.1

Исходная таблица

Вид сырья	Продукция		Ограничения по сырью
	А1	А2
1-й	4	1		240
2-й	2	3		180
3-й	1	5		251
Прибыль	40	30

Математическая модель

Пусть x1-количество изделий А₁; Х2-количество изделий А₂;

Ограничения:

Целевая функция: Z= 40x1 + 30x2 → max

2.2 Решение задачи планирования производства геометрическим способом

Найдем область допустимых решений

Посмотрим прямые:

x1+x2=240

x1+3x2=180

x1+5x2=251

Рисунок 2.2.1

Многоугольник OABCD- область допустимых решений.

Построим прямую уровня

Возьмем из области допустимых решений произвольную точку М(20; 20), подставим в целевую функцию:

Z: 40 *20 + 30 * 20 = 1400

x1 + 30x2 = 1400 - уравнение прямой уровня.

Результаты расчётов приведены на рис. 2.2.1.

Определим направление перемещения прямой уровня

α (40; 30) - координаты вектора, в направлении которого нужно перемещать прямую уровня до пересечения с последней граничной точкой области допустимых решений.

Эта точка С.

Найдём её координаты:

Найдем максимальную прибыль

*54+30*24=2880

Ответ: Для достижения максимальной прибыли 2880 ден.ед. следует производить 54 ед. продукции вида А₁ и 24. продукции вида А₂.

2.3 Решение задачи планирования производства симплекс-методом

Введем базисные переменные и преобразуем исходную задачу к виду:

Z= 40x1 + 30x2 + 0x₃ + 0x₄ + 0x₅ → max

Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x₃, x₄, x₅.

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

= (0,0,240,180,251)

Таблица 2.3.1

Итерация № 0

Базис	Сб	X1		X2		X3		X4		X5		Свободные члены		Отношение
X3	0	4		1		1		0		0		240		240/4
X4	0	2		3		0		1		0		180		180/2
X5	0	1		5		0		0		1		251		251/1
Z			-40		-30		0		0		0		0		-

При составлении исходной симплекс таблицы (Табл. 2.3.1), коэффициенты при переменных функции 𝑍 записываются с противоположными знаками, а свободный член со своим знаком.

Сб - вектор, составленный из координат соответствующих базисных переменных.

Текущий план не оптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

Ведущий столбец X1, так как -40 - наименьшее отрицательное число.

За ведущую выберем строку 1, так как отношение свободного члена к соответствующему элементу выбранного столбца для 3 строки является наименьшим.

Таблица 2.3.2

Разрешающий элемент 4

Базис	Сб	X1		X2		X3		X4		X5				Отношение
X3	0	4		1/4		1/4		0		0		60		60
X4	0	2		3		0		1		0		180		90
X5	0	1		5		0		0		1		251		251
Z			-40		-30		0		0		0		0		-

От элементов строки 2 отнимаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 2.

От элементов строки 3 отнимаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 1.

От элементов строки 𝑍 отнимаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на -40 (Табл. 2.3.2)

Заменяем базисную переменную X3 на X1

Таблица 2.3.3

Итерация № 1

Базис	Сб		X1		X2		X3		X4		X5		Свободные члены		Отношение
X1	0		1		0,25		0,25		0		0		60		240
X4	0		0		2,5		-0,5		1		0		60		24
X5	40		0		4,75		-0,25		0		1		191		40,21
Z		0		-20		10		0		0		2400		0

Текущий опорный план не оптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты (Табл. 2.3.3).

За ведущий выберем столбец 2, так как -20 наименьший элемент в 𝑍 строке.

За ведущую выберем строку 2, так как отношение свободного члена к соответствующему элементу выбранного столбца для 2 строки является наименьшим.

Разрешающий элемент 2,5

Разделим элементы строки 2 на 2,5(Табл. 2.3.3).

Таблица 2.3.4

Базис	Сб		X1		X2		X3		X4		X5		Свободные члены		Отношение
X1	0		1		0,25		0,25		0		0		60		240
X4	20		0		1		-0,2		0,4		0		24		24
X5	40		0		4,75		-0,25		0		1		191		40,21
Z		0		-20		10		0		0		2400		0

От элементов строки 1 отнимаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на 0,25.

От элементов строки 3 отнимаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на 4,75.

От элементов строки 𝑍 отнимаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на -20

Таблица 2.3.5

Базис	Сб	X1	X2	X3	X4	X5	Свободные члены
X1	0	1	0	0,3	-0,1	0	54
X2	20	0	1	-0,2	0,4	0	24
X5	40	0	0	0,7	-1,9	1	77
Z		0	0	6	8	0	2880

X2 = (54, 24, 77, 0, 0)

𝑍(X2) = 40*54 + 30*24 = 2880 (Табл. 2.3.5).

Ответ: Для достижения максимальной прибыли 2880 ден.ед. следует производить 54 ед. продукции вида А1 и 24 ед. продукции вида А2. (ответ совпадает с ответом полученным графическим способом).