3) Функция распределения двумерной случайной величины и ее составляющих.
Рассмотрим двумерную
случайную величину
Функция распределения
этой
двумерной случайной величины определяется
равенством
т.е.
есть вероятность попадания двумерной
случайной величины в 
квадрант
с вершиной
расположенный левее и ниже этой вершины.
Свойства функции распределения
1.
2. есть неубывающая функция по каждому аргументу:
3. Имеют место следующие предельные соотношения:
3.1
3.2
3.3
3.4
4. Вероятность попадания двумерной случайной величины в полосу вычисляется по формулам:
5. Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямоугольник у вычисляется по формулам:
6.
Функция
распределения
составляющей
при
любом
есть
;
функция
распределения составляющей
при
любом
есть
.
4) Двойной интеграл.
4.1 Определение и свойства двойного интеграла функции, заданной на прямоугольнике.
Определение 1.
Пусть
прямоугольник,
– разбиение отрезка
,
– разбиение отрезка
.
Пару Р =(Р1,
Р2)
будем называть разбиением прямоугольника
А.
Определение 2.
Прямоугольники
,
на которые разбиение Р делит прямоугольник
,
мы будем называть прямоугольниками
разбиения Р.
Определение
3.П
усть
– диаметр разбиения Р1,
– диаметр разбиения Р2.
Мы будем называть число
диаметром
разбиения Р
и обозначать
.
Различные
параллелепипеды
разбиения Р могут пересекаться лишь по
своим границам. Площадь прямоугольника
А равна сумме площадей прямоугольников
разбиения Р.
Определение 4.
Пусть на прямоугольнике задана функция
– произвольная точка параллелепипеда
.
Составим двойную сумму
,
(1)
котрую будем называть интегральной суммой.
Число I
есть пределом
интегральных сумм
(1) при условии, что
,
если
такое, что лишь только
,
неравенство
имеет место при
любом выборе точек
.
В том случае, когда
предел I
существует, его называют двойным
интегралом
и обозначают
,
а функцию f
называют интегрируемой.
Двойной интеграл обладает теми же свойствами, что и интеграл Римана:
1. Если функция f непрерывна, то она интегрируема;
2. Пусть a и b – какие-либо числа, f и g – функции, интегрируемые на А. Тогда функция af(х, у)+bg(х, у) интегрируема на А, и при этом
.
3. Если неотрицательная
функция f
интегрируема на А, то
;
4. Если f и g интегрируемые функции, и f(х, у)³g(х, у) "(х,y)îа, то ;
5. Если f(х,
у) интегрируема
на А, то
интегрируема на А, и при этом
;
6) Пусть f
интегрируема на А, Р – произвольное
разбиение А. Тогда f
интегрируема на каждом
и
.
Обратно, если
найдется разбиение Р такое, что
и
существует
,
то функция f
интегрируема на прямоугольнике А.
7) Если f(х, у)=С для "(х, у)ÎА, то
,
где
– площадь прямоугольника А, которая
равна
.
4.2 Сведение двойного интеграла к повторному (случай прямоугольника).
Теорема 1.
Пусть f(х,
у) интегрируема
на прямоугольнике
и для любого
существует
.
Тогда функция j
интегрируема на отрезке
,
и при этом
.
Следствие1.
.
Пример1.
Вычислить двойной интеграл от функции
по квадрату
.
Решение.
Функция
непрерывна по совокупности переменных.
Согласно доказанной теореме
