Описанные и вписанные окружности.

1. Найти сумму длин катетов прямоугольного треугольника, если длина гипотенузы 20, а радиус вписанной окружности 4.

2. В равнобедренный треугольник с основанием вписана окружность, точка касания ко­торой с боковой стороной делит ее на отрезки . Найти площадь треугольника.

3. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, делит ее боковую сторону на отрезки 1 и 4. Найти площадь трапеции.

4. Периметр прямоугольного треугольника равен 36, радиус вписанной в него окружности 3,5. Найти радиус опи­санной окружности.

5. Выпуклый четырехугольник вписан в окружность. Его угол , а угол вдвое больше угла . Найти наименьший угол этого четырехугольника.

6. Найти радиус окружности, описанной около равнобедренной трапеции с диагональю 10 и уг­лом при основании, равным 30°.

7. Около трапеции описана окружность радиуса 6. Найдите среднюю линию трапеции, если .

8. Четырехугольник со сторонами описан около окружности радиуса 5. Найти площадь этого четырехугольника.

9. В окружность вписан четырехугольник со сторонами , . Найти длину диагонали .

Криволинейные фигуры

1. В пересечение двух кругов вписан ромб с диагоналями 12 и 6. Найти площадь одного из кругов.

2. Общая хорда двух кругов стягивает дуги в 60° и 120°. Найти отношение площадей этих кругов.

3. Из одной точки окружности проведены две хорды длиной 40 и 48. Найти площадь части круга, заключенной между этими хордами, если расстояние от середины меньшей хорды до большей хорды равно 16.

4. К окружностям радиусов 9 и 3 , касающихся внешним образом, проведены две общие каса­тельные. Найти периметр получившейся фигуры.

5. Центры четырех кругов расположены в вершинах квадрата со стороной 5. Найти периметр об­щей части кругов, если их радиусы равны стороне квадрата.

6. На сторонах правильного треугольника как на диаметрах построены три круга. Найти площадь их общей части, если сторона треугольника 6.

7. В окружность вписан правильный треугольник, площадь которого равна , и в треугольник вписана окружность. Найти площадь полученного кольца.

8. Стороной правильного треугольника является диаметр окружности. Найти длину дуги окруж­ности, заключенной внутри треугольника, если ее радиус равен .

9. В круге радиуса по одну сторону от центра проведены две хорды, одна из которых стягивает дугу в 120°, а другая — 60°. Найти площадь части круга, заключенной между хордами.

Дополнительные задачи.

1. В окружности радиуса проведен диаметр и на нем взята точка на расстоянии от центра. Найти радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке и изнутри касается данной окружности.

2. Две окружности радиусов см. и см. внутренне касаются. Хорда большей окружности касается меньшей окружности и делится точкой касания в отношении . Найти длину этой хорды.

3. Окружность проходит через вершины трапеции и касается стороны в точке . Найти , если основания трапеции .

4. Через две смежные вершины квадрата проведена окружность. Касательная к этой окружности, проведенная из третьей вершины, в два раза больше стороны квадрата. Найти радиус окружности, если площадь квадрата равна см².

5. Две окружности касаются внутренним образом в точке . Прямая, проходящая через центр меньшей окружности, пересекает большую окружность в точках и , а меньшую в точках и . Найти отношение радиусов этих окружностей, если .

6. Вне круга радиуса взята точка, из которой проведены две секущие: одна проходит через центр круга, а вторая — на расстоянии от центра. Найти площадь части круга, заключенной между данными секущими.

7. Около окружности радиуса описана равнобедренная трапеция площади . Найти основания трапеции.

8. В прямоугольную трапецию с основаниями и вписана окружность. Найти ее радиус, если расстояния от центра этой окружности до точек и равны и соответственно.

9. В равнобедренный треугольник вписана окружность радиуса . Окружность радиуса касается боковых сторон треугольника и вписанной окружности. Найти основание треугольника.

10. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна , . Найти радиус окружности, которая касается катета , гипотенузы и окружности, вписанной в треугольник .

11. В параллелограмме стороны и являются хордами окружности, касающейся стороны и высекающей на хорду длиной см. Найти радиус этой окружности, если см.