1.4. Прямые методы формирования случайных чисел

Рассмотрим сначала сущность первого пути преобразования случайных чисел.

Идея построения интересующих нас операций вытекает из следующей теоремы (см., например, [1]): если случайная ве­личина имеет плотность распределения , то распределе­ние случайной величины

(1.2)

является равномерным в интервале (0, 1).

На основании этой теоремы можно прийти к следующему правилу. Чтобы получить число, принадлежащее совокупности случайных чисел , имеющих функцию плотности , необ­ходимо разрешить относительно уравнение

. (1.3)

Для обоснования этого правила рассмотрим случайную величину , имеющую равномерное распределение в интервале (0, 1), и случайную величину , связанную с соотношением (1.2). Будем предполагать, что ни на одном интервале не обращается тождественно в нуль. Тогда является, согласно (1.2), монотонно возрастающей функцией , соответственно, может быть выражена как функция от :

.

Легко видеть, что обратная функция

в данном случае выражается соотношением (1.3).

1.5. Моделирование случайных чисел методом обратной функции

Моделирование случайных чисел c экспоненциальным законом распределения

В качестве примера рассмотрим использование этого метода для получения случайных чисел с экспоненциальным законом распределения

.

По формуле (1.2) получаем .

Решая, согласно (1.3), это уравнение относительно получим необходимую формулу

.

Если величина равномерно распределена в интервале (0, 1) , то и величина также равномерно распределена в том же интервале. Поэтому для моделирования чисел с экспоненциальным законом можно пользоваться более удобным выражением

. (1.4)

Пример моделирования случайных чисел с экспоненциальным законом распределения приведен в Задании 1.2.

Моделирование случайных чисел c релеевским законом распределения

Аналогично можно показать, что для закона распределения Релея с заданным параметром 

, , ,

обратная функция для вычисления случайных чисел с помощью случайных чисел с равномерным законом распределения

.

Пример моделирования случайных чисел с законом распределения Релея приведен в Задании 1.3.

Следует отметить, что интеграл в уравнении (1.3), во многих случаях, не всегда берется в аналитическом виде (в частности нормальный закон распределения), поэтому часто используются приближенные приемы преобразования случайных чисел.

Другая группа приемов преобразования случайных чисел ос­новывается на приближенном воспроизведении условий, при ко­торых оказываются справедливыми соответствующие предель­ные теоремы.

1.6. Моделирование случайных чисел с нормальным законом распределения

методом обратной функции интегрального закона распределения

Интегральную функцию нормального закона распределения случайной величины представляем таблицей с ограниченным числом данных. Для моделирования случайных чисел с нормальным распределением применяется метод обратной функции . Значения обратной функции между табулированными точками можно найти линейной интерполяцией

. (1.5)

В таблице 1 представлены значения интегральной функции распределения с математическим ожиданием и среднем квадратическим отклонением .

Таблица 1

z		z
-3	0,00135	0,5	0,69146
-2,5	0,00621	1	0,84134
-2	0,02275	1,5	0,93319
-1,5	0,06681	2	0,97725
-1	0,15866	2,5	0,99379
-0,5	0,30854	3	0,99865
0	0,50000

С увеличением числа точек в таблице, естественно, уменьшается погрешность вычисления функции

Пример. Получить реализации случайного числа с математическим ожиданием и дисперсией . Для этого возьмем следующую исходную последовательность равномерно распределенных чисел = 0,2163, 0,3241, 0,1021, 0,7621.

Для находим по таблице 1 интервал - ; ; ; .

Подставив эти данные в формулу (1.5), получим:

По формуле вычисляем случайное число

Аналогично для ; ; соответственно получим ; ; и ; ; .