4.3. Уравнения Лагранжа. Уравнения Гамильтона

4.3.1. Уравнения Лагранжа второго рода (уравнения Лагранжа-2)

Обобщенная сила инерции может быть выражена через кинетическую энергию системы:

.

Из п. 4.8 получаем уравнений Лагранжа 2 рода:

Для того чтобы составить уравнения Лагранжа-2, надо выразить кинетическую энергию в виде функции от переменной: обобщенных координат, обобщенных скоростей и (при нестационарных связях) времени:

(здесь есть вектор обобщенных координат, - вектор обобщенных скоростей).

4.3.2. Функция Лагранжа

Функция Лагранжа (кинетический потенциал) есть выражение

.

Уравнения Лагранжа-2 при наличии только потенциальных сил имеют вид

,

а при наличии как потенциальных, так и непотенциальных сил

4.3.3. Структура уравнений Лагранжа-2

Из выражения для радиус-вектора в п. 4.6 находим, что

.

Тогда кинетическая энергия системы равна

,

где , , .

С учетом полученного выражения для функции из п. 4.8 следует, что уравнения Лагранжа – 2 являются уравнениями второго порядка относительно обобщенных координат.

Если связи стационарны, то , и тогда кинетическая энергия является квадратичной формой обобщенных скоростей, причем определитель матрицы коэффициентов

.

4.3.4. Вариационный принцип Гамильтона

Пусть задан промежуток времени , на котором исследуется движение консервативной системы. Выражение , где - функция Лагранжа, называется действием по Гамильтону. Размерность этой величины . Значение величины зависит от того, какие функции (и, следовательно, какие функции ) входят в выражение для . Действие по Гамильтону представляет собой отображение набора функций на множество действительных чисел и называется функционалом. Функционал можно считать функцией от функции, в рассматриваемом случае – функцией от функций .

Набор функций условно называется путем системы. При движении системы реализуется путь, называемый прямым (на рис. 16 он изображен жирной линией). Другие пути, образующиеся благодаря варьированию величин в каждой точке , называются окольными. Окольные пути начинаются и заканчиваются в тех же точках пространства , что и прямой путь.

Рис. 16. Прямой путь и окольные пути

Принцип Гамильтона заключается в утверждении, что прямой путь отличается от окольных путей тем, что на нем действие принимает экстремальное (стационарное) значение. Экстремальное значение функционал приобретает при условии обращения в нуль его вариации, т.е. на прямом пути .

Действительно,

При этом , т.к. в начальной и конечной точках все пути сходятся: в этих точках . В силу уравнений Лагранжа-2 получаем .

*4.3.5. Уравнения Гамильтона

Введем вместо лагранжевых переменных гамильтоновы переменные . Здесь - вектор обобщенных импульсов, определяемых формулами

(потенциальная энергия зависит от переменных и не зависит от ). Тогда каждое уравнение Лагранжа-2 можно записать так:

.

Пусть связи стационарны: ; тогда справедливо равенство , или .

Отсюда получим

или, с учетом введенных величин ,

.

С другой стороны, выражения представляют собой линейную систему уравнений относительно , определитель которой (предложение п. 4.3.3). Тогда существует единственное нетривиальное (ненулевое) решение этой системы, и величины можно выразить через и подставить в кинетическую энергию , представив ее как функцию гамильтоновых переменных

Отметим, что ). Имеем далее

.

Поскольку , получаем, что

и .

Тогда .

Функцию называют функцией Гамильтона. При стационарных связях она есть полная механическая

энергия системы, выраженная в гамильтоновых переменных.

Функцию Гамильтона можно представить также в виде:

.

Систему дифференциальных уравнений первого порядка относительно функций и

,

называют каноническими уравнениями Гамильтона движения консервативной системы.