6. Абсолютная и относительная ошибки

Как уже отмечалось выше, давая результат измерений, необходимо указать доверительный интервал, соответствующий выбранной надежности. При этом результат следует записывать в виде

a = a_cp   a. (10)

Величина  a, определяющая границы доверительного интервала, внутри которого находится неизвестное истинное значение искомой величины при выбранной надежности, называется абсолютной ошибкой (погрешностью).

Абсолютная ошибка не характеризует полностью точность измерения. Например, при измерении некоторой длины мы получили результат l₁ = 10см, абсолютная ошибка оказалась равной  l₁ = 1 см. При измерении другой длины той же линейкой мы получили результат l₂ = 10 м = 1000 см, абсолютная ошибка при этом осталась прежней  l₂ = 1см. Хотя абсолютная ошибка одинакова для обоих измерений, второе измерение произведено точнее: так абсолютная ошибка составляет для него лишь 0,1% измеряемой величины. Следовательно, кроме абсолютной ошибки нужно указывать еще и относительную ошибку (погрешность).

Относительной ошибкой Е называется отношение абсолютной к среднему значению измеряемой величины

Е =  a / a_cp. (11)

Результаты измерений в указанном примере следует записать следующим образом: l₁ = (10  1) см, Е₁ = 10 %; l₂ = (1000  1) см, Е₂ = 0,1 %.

Абсолютная ошибка имеет ту же единицу измерения, что измеряемая величина. Относительная ошибка – безразмерное число, которое выражается в долях единицы или в процентах.

7. Нахождение ошибок прямых измерений

Абсолютная ошибка многократно повторенного прямого измерения находится по формулам (3), (7) и (9), т. е.

а_i = a_cp – a_i ;

;

 a = t · Sa,

а относительная ошибка по формуле

Е =  a / Sa,

где a_cp – среднее арифметичсекое всех результатов измерениий а_i ; n – число проделанных измерений; t – коэффициент Стьюдента (находится по табл. 1, исходя из данных р и n).

Если при прямых измерениях величины повторные измерения дают тождественные результаты (метод не чувствителен) или по условиям опыта приходится ограничится однократным измерением, то за абсолютную ошибку принимают половину цены наименьшего деления шкалы прибора. Например: 1) цена наименьшего деления линейки – 1 мм, тогда l = 0,5 мм; 2) цена наименьшего деления термометра – 0,5˚, тогда t = 0,25˚. Относительная ошибка находится в этом случае как отношение абсолютной ошибки к полученному значению измеряемой величины (при однократном измерении).

8. Нахождение ошибок табличных величин

За абсолютную ошибку табличных данных физических величин берут обычно 5 единиц десятичного знака, идущего за последним знаком в числе, взятом из таблицы. Например: 1) табличное значение плотности алюминия ρ = 2,69 г/см³, тогда ρ = 0,005 г/см³; 2) табличное значение диэлектрической постоянной керосина ε = 2, тогда  ε = 0,5.

Постоянные π = 3, 14159…; е = 2,71828…(основание натуральных логарифмов) и др. берутся с таким числом значащих цифр, чтобы обеспечить достаточную точность по сравнению с опытными данными. Например, если данные опыта имеют три значащие цифры, то постоянная берется с четырьмя.

При π = 3,14, Е_π = 0,005/3,14 = 0,12 %

при π = 3,142, Е_π = 0,0005/3,14 = 0,013 %