2) Построение доверительной области для математического ожидания случайного вектора в форме эллипсоида
Ковариационная
матрица
не известна. В этом случае как было
показано в пункте 2.2 уравнение эллипсоида,
ограничивающего доверительную область
для вектора математических ожиданий
с вероятностью
,
имеет вид:
,
где
–
-ая
точка распределения Фишера-Снедекора
с числом степеней свободы
,
,
.
Найти
можно с помощью функции FРАСПОБР(
)
пакета Excel.
В нашем случае
.
С помощью пакета Mathcad
рассчитаем
.
Результаты расчета приведены на рисунке
2.6.
Рисунок 2.6 – Результаты расчета обратной матрицы
Подставив
,
в левую часть уравнения (2.3) и рассчитав
правую часть, получим:
.
Перенесем
начало координат в центр эллипсоида.
Для этого сделаем замену переменных
(
,
):
.
Левая
часть выражения полученного уравнения
представляет собой квадратичную форму
относительно вектора
.
Приведем квадратичную форму к каноническому
виду.
Напомним,
для приведения квадратичной формы
к каноническому виду необходимо найти
такую ортогональную матрицу В,
чтобы после введения новых переменных
при помощи уравнения
квадратичная форма содержала только
слагаемые с квадратами новых признаков:
.
После замены переменных
форма
переходит в форму
.
Таким образом, необходимо найти такую
матрицу В,
чтобы матрица
имела диагональный вид. Для этого в
качестве столбцов матрицы В
необходимо выбрать ортонормированную
систему собственных векторов матрицы
А.
Тогда
будут собственными числами матрицы А.
Матрица B
выступает в качестве матрицы ортогонального
вращения системы признаков
.
В
нашем случае в качестве матрицы А
выступает матрица
.
Следовательно, для приведения квадратичной
формы
к каноническому виду необходимо найти
собственные числа и собственные вектора
матрицы
.
Результаты расчетов собственных чисел
и собственных векторов, полученные с
помощью пакета Mathcad,
приведены на рисунке 2.7.
Рисунок 2.7 – Результаты расчетов собственных чисел и собственных векторов матрицы
Вид
матрицы В
и результаты расчета произведения
приведены на рисунке 2.8.
Рисунок 2.8 – Результаты расчета матрицы
Уравнение эллипсоида, ограничивающего доверительную область для вектора математических ожиданий , принимает вид:
.
Запишем уравнение эллипсоида в каноническом виде:
.
Знаменатели в левой части уравнения представляют квадраты длин полуосей эллипсоида.
3) Построение доверительной области для математического ожидания случайного вектора при нивелировании признака
Для
построения доверительной области для
математического
ожидания случайного вектора
при нивелировании признака
введем в
рассмотрение матрицу
.
Уравнение
эллипса, ограничивающего доверительную
область для вектора математических
ожиданий
с вероятностью
,
имеет вид:
,
(2.10)
где
–
-ая
точка распределения Фишера-Снедекора
с числом степеней свободы
,
,
.
С
помощью пакета Excel
получаем
.
С помощью пакета Mathcad
рассчитаем
.
Результаты расчетов приведены на рисунке
2.9.
Рисунок 2.9 – Расчет матрицы
Подставив , С, в левую часть выражения (2.10) и рассчитав правую часть, получим:
.
Перенесем
начало координат в центр эллипса. Для
этого сделаем замену переменных (
,
):
.
Приведем уравнение эллипса к каноническому виду. Результаты расчетов собственных чисел и собственных векторов матрицы приведены на рисунке 2.10.
Рисунок 2.10 – Результаты расчетов собственных чисел и собственных векторов матрицы
Тогда уравнение эллипса, ограничивающего доверительную область для вектора математических ожиданий , принимает вид:
или
.
График
эллипса в системе координат
,
построенный в пакете Mathcad,
представлен на рисунке 2.11.
Рисунок 2.11 – Построение графика эллипса в пакете Mathcad
На
рисунке 2.12 представлен эллипс в системе
координат
.
Рисунок 2.12 – График доверительной области в системе координат