3.6.2. Незалежність випадкових величин. Випадкові величини називаються незалежними, якщо

.

Теорема. Нехай випадковий вектор має щільність розподілу . Для того, щоб випадкові величини були незалежними необхідно і досить, щоб

,

де - щільність .

Доведення. Якщо випадкові величини незалежні, то =

.

Тому .

Нехай навпаки . Тоді

.

Тобто, випадкові величини незалежні.

Відзначимо, що у випадку двовимірного нормального розподілу умова є неохідною і достатньою умовою незалежності компонент вектора.

Якщо випадкова величина дискретна, то із означення випливає, що умова незалежності випадкових величин еквівалентна умові

.

Сформулюємо без доведення наступні властивості.

Якщо – незалежні випадкові величини, то для довільних борелєвих функцій випадкові величини також незалежні.

Якщо випадкові величини , – незалежні, а і борелєві функції, то випадкові величини і – незалежні.

Вправи.

21. Задано функцію розподілу випадкового вектора Чи будуть величини і незалежними?

22. Випадковий вектор рівномірно розподілений в крузі . Знайти і . Чи будуть величини і незалежними?

23. Задано щільність розподілу випадкового вектора . Чи будуть величини і незалежними?

24. Випадковий вектор має щільність розподілу де . Чи будуть величини і незалежними?

25. Задано розподіл випадкового вектора (вправа 21). Чи будуть величини і незалежними?

3.6.3. Розподіл деяких функцій від декількох випадкових величин. Розглянемо спочатку приклад. Нехай дискретна випадкова величина має розподіл , , а випадкова величина має рівномірний на відрізку [0,1] розподіл. Необхідно знайти розподіл суми .

Для цього подію зобразимо у вигляді:

,

Тоді

,

тоді а

Тому при , при , при , при і при . Тобто,

Нехай випадковий вектор має щільність розподілу . Розглянемо випадкову величину . Функція розподілу буде рівна

.

Розглянемо розподіл суми випадкових величин. Нехай - щільність розподілу вектора , а . Тоді функція розподілу суми буде рівна

.

Область інтегрування можна подати у вигляді або

. У відповідності до цього розглянемо два варіанти знаходження функції розподілу:

,

.

Із одержаних рівностей і означення щільності розподілу випливає, що щільність розподілу суми випадкових величин знаходиться із рівностей

або

.

Нехай – незалежні. Це означає, що . Тому

.

Отже, щільність розподілу суми випадкових величин є згорткою функцій і .

Із вигляду функції розподілу суми , для незалежних випадкових величин одержуємо:

,

.

Тобто, функція розподілу суми

є згорткою або композицією функції розподілу і .

Розглянемо випадок двовимірного нормального розподілу зі щільністю розподілу

Знайдемо щільність розподілу суми

.

Для спрощення записів позначимо і зробимо в інтегралі заміну , тоді

.

Показник у підінтегральній функції перетворимо до вигляду

і виконаємо заміну , . Врахувавши рівність , одержимо:

.

Отже, якщо випадковий вектор – нормально розподілений, то сума – нормально розподілена з параметрами і .

Якщо і - незалежні, тобто , і , , то ~ . Справедливе і обернене твердження (теорема Крамера). Якщо і – незалежні і сума – нормально розподілена, то і кожен доданок і є нормально розподіленими випадковими величинами.

Розглянемо тепер розподіл частки випадкових величин. Нехай – випадковий вектор із щільністю , а , тоді .

Оскільки , то

.

Диференціюючи дану рівність, одержимо щільність розподілу частки

.

Знайдемо ще і розподіл добутку випадкових величин. Нехай – випадковий вектор із щільністю , а , тоді .

Із рівності маємо

.

Диференціюючи дану рівність, одержимо щільність розподілу добутку

.

Відзначимо, що при знаходженні щільності розподілу функції від випадкових величин, часто буває простіше знайти спочатку її функцію розподілу.

Вправи.

26. Нехай і – незалежні випадкові величини, що мають гамма-розподіл із параметрами і відповідно. Довести, що випадкова величина має гамма-розподіл із параметрами .

27. Знайти розподіл , якщо задано закон розподілу дискретного випадкового вектора . Таблиця вправи 20.

28. Задано щільність розподілу випадкового вектора : де . Знайти сталу c, щільність розподілу .

29. Знайти закон розподілу , якщо дискретні випадкові величини і незалежні і задано їх закони розподілу:

	-1	1	2	3
p	0,2	0,4	0,3	0,1

		-2		0		1
p	0,3		0,5		0,2

3.6.4. Деякі розподіли функцій від нормально розподілених випадкових величин. Нехай випадкові величини – незалежні, . Тоді випадкова величина має розподіл Пірсона (або розподіл ) із ступенями вільності.

Нехай – незалежні нормально розподілені з параметрами випадкові величини. Тоді величина має розподіл Стьюдента (або -розподіл) із ступенями вільності.

Нехай , – незалежні нормально розподілені з параметрами випадкові величини, . Тоді величина має розподіл Фішера із ступенями вільності.

Нормальний розподіл, розподіли Пірсона, Стьюдента, Фішера мають дуже широке використання у математичній статистиці.