5. Методы расчёта характеристики выборок.

1. «Ложный ноль».

Вводят понятие «ложного нуля» А, которое предполагают, исходя из размаха выборки, моды и медианы.

Условные варианты U_i = x_i – A.

Если х_i являются равноотстоящими значениями с шагом h, тогда вводят условные варианты, являющиеся целыми числами:

U_i =

Выборочное среднее

Выборочная дисперсия D_в = D(U + A) = D(U) + D(A) = D(U)

2. Умножение / деление вариант.

Вводят условные варианты, умноженное на некоторое число С

U_i = C x_i x_i = и D(x) = D( ) =

или разделённое на некоторое число С

х_i = CU_i и D(x) = C²D(U)

6. Ошибки репрезентативности.

Величина отклонения выборочного показателя от его генерального параметра называют ошибкой репрезентативности.

Предельной ошибкой выборки  называется максимально допустимое по модулю отклонение * от .

Риском (уровнем значимости)  называют вероятность того, что модуль отклонения эмпирической характеристики от теоретической превысит предельную ошибку

Р {*       или Р *        

Рассмотрим точечную оценку математического ожидания , т.е.

Р   а      

Т.к. дисперсия среднего арифметического в n раз меньше дисперсии одного слагаемого:

D ( ) =

Таким образом, нормирующий множитель равен . После нормировки имеем:

Согласно центральной предельной теореме распределения центрированной и нормированной суммы независимых одинаково распределённых случайных величин при п   стремится к N (0; 1):

или

Таким образом, – соотношение между объёмом выборки, риском и предельной ошибкой выборки.

Тема: Интервальные оценки генеральных параметров. Погрешности измерений.

7. Основные понятия.

Интервальной оценкой называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надёжность точечной оценки.

Пусть * – точечная оценка неизвестного параметра , являющаяся случайной величиной. Чем меньше   *, тем точнее * определяет параметр . Если   0 и   *  , то чем меньше , тем точнее оценка. Число  называется точностью оценки.

В силу случайности * можно лишь говорить о вероятности осуществления неравенства   *  .

Н адёжностью (доверительной вероятностью) оценки * называют вероятность , с которой осуществляется неравенство   *  . Обычно  = 0,95; 0,99; 0,999…

Р*      *   =  означает, что вероятность того, что интервал (*  ; *  ) заключает в себе неизвестный параметр , равна :

Вероятность того, что неизвестный параметр не попадёт в интервал   *  , равна 1     (уровень значимости).

8. Построение доверительного интервала.

Рассмотрим основные положения метода построения доверительного интервала, основанного на подборе функции  *, называемый статистикой.

Статистика должна обладать следующими свойствами:

1. известен закон распределения (хотя бы приближённо) для статистики;

2. закон распределения не зависит от ;

3. статистика  * непрерывна и строго монотонна по ;

4. задавшись доверительной вероятностью 1 – , находят критические границы и , т.е. с вероятностью 1 –  выполняется неравенство   *  ;

5. решив последнее неравенство относительно , находят границы доверительного интервала.