Лекція № 3

Розвиток математики в Стародавній Греції.

Елліністичні країни та Римська імперія . Аксіоми геометрії. "Начала" Евкліда.

1. Учені Єгипту й Вавілона відкрили багато важливих математичних фактів, розробили алгоритми дій над натуральними й частково над дробовими числами, знайшли способи розв'язування окремих видів задач. Але наука розвивалася ще надзвичайно повільно, протягом століть, навіть протягом тисячоліття, не відбулося істотного прогресу в історії, скажімо, єгипетської або шумеро-вавілонської математики. Такий стан пояснюється деспотичною формою правління, яка панувала в суспільстві. Воля деспота вважалася законом, це могло бути й мови про вільне обговорення якихось проблем. Тему єгипетські математичні тексти починаються із слів "роби, як робиться". Після них наводиться рецепт, алгоритм, як потрібно діяти. Жодного натяку на доведення чи аксіоми ще не існувало.

Приблизно на такому самому рівні були й математичні знання стародавніх греків VIII—VII ст. до н. є. Але з VI ст. до н. є. грецька математика починає швидко збагачуватися новими фундаментальними фактами, докорінно змінює, а точніше знаходить свій предмет і метод. Вона перетворюється в абстрактну дедуктивну науку, предметом вивчення якої стають математичні поняття. Методом дослідження відношень між ними стають логічні доведення, засновані на системі аксіом і раніше доведених теоремах. Греки перші прийшли до ідеї доведення і надали доведенням логічної форми, яка зберігається і тепер.

Власне з цього часу й починається історія математики як теоретичної галузі знання. Одночасно формується й думка про те, що математика — універсальна мова для відображення законів природи, знаряддя розв'язування практичних задач.

Протягом трьох століть учені Стародавньої Греції створили теорії, глибину яких по- справжньому змогли зрозуміти й оцінити лише математики XIX і XX ст.

Першим ученим Античної Греції був Фалес Мілетський (638/637—548/547 рр. до н. є.). Можливо саме завдяки йому почалося перетворення єгипетської і вавілонської емпіричної математики в дедуктивну науку. Славу засновника давньогрецької математики поділяє з Фалесом легендарний Піфагор Самоський (571/570—497/496 рр. до н. є.), який перетворив геометрію із зібрання рецептів розв'язування різних задач в абстрактну науку, що розглядала вже не площі полів, місткість зерносховищ, дамб, штабелів цегли тощо, а геометричні фігури — абстракції, ідеалізації певних властивостей реальних об'єктів.

У школі Піфагора зародилася теорія чисел, учення про правильні многокутники. Піфагорійці відкрили несумірні відрізки, і це стало поворотним пунктом усієї історії математики. Величезна заслуга піфагорійців у тому, що вони виявили фундаментальне значення кількісних характеристик явищ навколишньої дійсності: кожну просторову форму або явище характеризує цілком визначена числова модель — число. Проте піфагорійці перебільшили його роль. Вони оголосили числа не тільки всесильними правителями, законодавцями світу, а й першоосновою речей і явищ навколишньої дійсності.

Відкриття відрізків, відношення яких не можна виразити числом (вірніше — ніяким додатним раціональним числом, бо тільки такі числа і знали на той час), стало справжньою катастрофою піфагорійської філософії і зумовило створення так званої геометричної алгебри. Теореми, правила й задачі алгебри подавали в термінах відношень між довжинами відрізків і площами прямолінійних фігур. Геометрична мова стала використовуватися і в теорії чисел. Числа зображали точками або відкладали певну кількість разів відрізок, довжину якого брали за одиницю.

У V ст. до н. є. були сформульовані три знамениті задачі про квадратуру круга, подвоєння куба й трисекцію кута, які привернули загальну увагу і відіграли величезну роль в історії математики. Спроби розв'язати їх засобами класичної геометричної алгебри й пошуки різних некласичних способів розв'язування спричинилися до введення в математику нових понять, до розробки різних способів розв'язування задач. Тільки в другій половині XIX ст. математики дали вичерпну відповідь на запитання, поставлені давньогрецькими вченими в цих задачах.

Перша задача (задача про подвоєння куба).

Треба побудувати ребро куба, який за об’ємом був би вдвічі більшим за даний куб.

Друга задача (задача про трисекцію кута).

Треба довільний кут поділити на три рівні частини.

Третя задача (задача про квадратуру круга).

Треба побудувати квадрат, площа якого дорівнювала б площі даного круга.

Ці три задачі називаються «знаменитими геометричними задачами стародавності». Найбільші труднощі виникли прц розв'язуванні цих задач лише за допомогою циркуля та лінійки.

Походження першої задачі про подвоєння куба пов'язане з природнім бажанням стародавніх учених узагальнити задачу про подвоєння квадрата, тобто задачу про побудову квадрата, який за площею удвічі перевищував би даний квадрат.

Давні греки порівняно легко розв'язали задачу про подвоєння квадрата. Для цього треба було вміти будувати за допомогою циркуля і лінійки . Розв'язання ж задачі про подвоєння куба зводиться до геометричної побудови . Однак усі намагання побудувати циркулем і лінійкою протягом багатьох століть не приводили до успіху.

І лише в першій половині XIX ст. було доведено, що за допомогою циркуля і лінійки побудувати неможливо, а тому й неможливо розв'язати першу задачу давнини. Чітке доведення нерозв'язності задачі про подвоєння куба за допомогою циркуля і лінійки дав французький математик П. Вантцель у 1837 р.

Друга знаменита геометрична задача — це задача про трисекцію кута, тобто поділ довільного кута на три рівні частини. Ця задача виникла з потреб архітектури і будівництва. Користуючись циркулем і лінійкою, давні греки вміли ділити довільний кут навпіл, а також ділити прямий кут на три рівні частини. Однак виконати трисекцію довільного кута не вдалося.

Р. Декарт був першим ученим, який висловив припущення, що трисекція довільного кута не може бути виконана за допомогою циркуля і лінійки. Строге ж доведення нерозв'язності задачі про трисекцію довільного кута за допомогою циркуля і лінійки також дав П. Вантцель у 1837 р. Наприклад, кут у 60° не можна поділити на три рівні частини за допомогою циркуля і лінійки.

Третя знаменита геометрична задача — задача про квадратуру круга — є найдавнішою. її історія охоплює період понад чотири тисячі років. Цією задачею раніше від греків займалися ще мудреці Вавилону та Єгипту. Незалежно від греків ЇЇ досліджували китайці та індійці. Задача про квадратуру круга є найбільш популярною з усіх математичних задач.

Протягом багатьох століть учені прагнули розв'язати цю задачу, однак їх спроби були марними Усі ілюзії щодо розв'язання задачі про квадратуру круга за допомогою циркуля і лінійки були зруйновані, лише у другій половині XIX ст. Німецький математик Ф. Ліндеман у 1882р. чітко довів, що задачу про квадратуру круга неможливо розв'язати за допомогою циркуля і лінійки. Цей історичний результат став простим наслідком іншого важливого результату, доведеного Ф. Ліндеманом, а саме факту, що число є трансцендентним.

Наведемо цей наслідок. Нехай дано круг радіуса К і треба побудувати квадрат, рівновеликий цьому кругу. Позначимо сторону шуканого квадрата через X, тоді маємо х2=яК2, звідки х = Кл/ж. Таким чином, питання про побудову квадрата, рівновеликого даному кругу, зводиться до побудови добутку даного відрізка К на дане число у ж , причому цю побудову треба провести за допомогою лише циркуля і лінійки, тобто, шляхом побудови скінченного числа кіл і прямих ліній.

У теорії геометричних побудов установлено, що даний відрізок К можна множити на дійсне число лише в тому разі, коли це дійсне число є алгебраїчним. Отже, за допомогою лише циркуля і лінійки не можна побудувати добуток даного відрізка R на число неалгебраїчне (тобто трансцендентне). Таким чином, щоб довести нерозв'язність задачі про квадратуру круга за допомогою циркуля і лінійки, необхідно встановити неможливість побудови вказаними засобами добутку данного відрізка R на число , а для цього достатньо показати, що п (а тому й ) є числом трансцендентним.

Заслуга Ф. Ліндемана якраз і полягаю в тому, що він перший у світовій науці строго довів, що є числом трансцендентним і тим самим остаточно встановив неможливість розв'язування задачі про квадратуру круга за допомогою циркуля і лінійки. Тому Ф. Ліндемана називають «переможцем числа », а ще краще — «переможцем задачі про квадратуру круга».

Отже, розв'язання задачі теорії чисел — про трансцендентність числа — привело до розв'язання геометричної задачі. Це слугує яскравим прикладом тісного зв'язку між різними галузями математики.

Не встигли математики зміцнити логічний фундамент своєї науки після удару по ньому, завданому несумірністю, як філософ елейської школи Зенон Елейський (бл.

490 — бл. 430) висунув свої 45 апорій ( іа—тупик, утруднення, безвихідь), в яких у наївній і далекій від математики формі вказував на логічні суперечності, що їх несло в собі поняття нескінченності.

Розглядаючи якийсь процес, можна припустити, що після кожного виконаного кроку — геометричної побудови, арифметичної або алгебраїчної операції завжди можна виконати наступний крок. Так приходимо до абстракції потенціальної (від. лат. роtепtіа — можливість) нескінченності. Коли ж абстрагуватися від нескінченного процесу утворення множини й розглядати її завершеною, заданою набором усіх своїх елементів, актуально (від лат. аctualis— діяльний) заданою, то приходимо до абстракції актуальної нескінченності, яка викликала справжні логічні катастрофи в філософії і математиці.

Молодший сучасник Зенона видатний учений-матеріаліст Демокріт із Абдер (бл. 460— бл. 380) розробив теорію атомістичної математики. Він розглядав точки як неподільні атоми простору, які мають скінченний об'єм. Тоді відрізки прямої — це скінченні, хоча й з дуже великою кількістю елементів, множини точок, частини площини складаються із сум відрізків, а тіла — із шарів площин.

Гіппократ Хіоський (V ст. до н. е.) перший відкрив фігури, обмежені дугами кіл (серпки Гіппократа), сума площ яких рівновелика прямокутному трикутнику. Гіппій із Еліди (420 р. до н. є.) винайшов криву лінію — квадратрису, за допомогою якої здійснив трисекцію кута, а Дінострат (2-га половина IV ст. до н. є.) розв'язав задачу квадратури круга. Надзвичайно дотепне некласичне розв'язання задачі подвоєння куба дав у цей час видатний учений, механік, математик, філософ, музикант і політичний діяч Архіт Тарентський (бл. 428—365 рр. до н. є.).

Визначні результати здобув давньогрецький математик і астроном Евдокс Кнідський (бл. 406 — бл. 365 рр. до н. є.). Він розробив логічно бездоганну теорію відношень, яка до другої половини XIX ст. була найдосконалішою теорією дійсного числа — складовою частиною логічного обгрунтування всієї математики. Евдокс — творець методу вичерпування першого вчення про границі. Застосувавши саме метод вичерпування, вдалося обчислити границі широкого класу послідовностей і завдяки цьому визначити площі та об'єми різних фігур, обмежених кривими лініями й криволінійними поверхнями. До винайдення інтегрального числення метод вичерпування був найбільш потужним і загальним алгоритмом розв'язування задач на обчислення квадратур і кубатур.

Несумірні відрізки були геометричною формою ірраціональностей, які владно входили в математику. їх не міг зупинити опір піфагорійців, які стали рабами своєї обмеженої числової філософії. Видатний математик Теетет Афінський (IV ст. до н. є.) довів нові важливі теореми про несумірні відрізки і дав класифікацію всіх можливихпар несумірних відрізків.

Кінець V і початок IV ст. до н.е.— золоте століття історії Афін. Тут жили йпрацювали видатні вчені античного світу: Анаксагор із Клазомен, Демокріт із Абдер,Гіппій із Еліди, математик Феодор Кіренськии, патріарх античної медицини Гіппократ з Коса, філософ Сократ. Платон засновує в цей час знамениту Академію, Арістотель — Лікей, прообраз майбутніх університетів.

У кінці IV ст. до н. є. на політичну арену виступає Македонія, яка досягає апогея за царювання Александра Македонського (356—322 рр. до н. є.). Після його завойовницьких походів грецька культура й мова переплітаються з культурою підкорених народів, у результаті чого утворюється так звана еліністична культура. Це була вже нова епоха не тільки в історії суспільства, а й математики.

2. Епоха еллінізму починається з часів походів Александра Македонського за межами Греції в 332-323 рр. до н.е. Після смерті Александра утворена ним імперія розпалася на окремі країни, у них правили династії, засновані його воєначальниками. Найбільшого успіху науки досягли в країні династії Птолемеїв - Єгипті. У столиці країни - Александрії був створений науковий центр Мусейон і при ньому величезна бібліотека, в якій налічувалося понад 700000 манускриптів. У Мусейоні працювали найвидатнішї вчені того часу. Особливого розквіту досягли в цей період точні науки, насамперед математика.

В епоху еллінізму творили видатні вчені античного світу: Евклід (IV ст. до н. е.), Архімед із Сіракуз (бл. 287 - 212 рр. до н.е.), Аполлоній Пергський (бл.250 - 170 рр. до н.е.).

Відомо, що існувало декілька спроб систематичної побудови теоретичних основ геометрії. Однак всі вони до нас не дійшли за виключенням "Начал" Евкліда. "Начала" здобули всезагальне стійке визнання як система математичних знань, логічна строгість якої залишалась неперевершеною на протязі понад 20 ст. Весь цей час за Евклідом вивчали математику, а пізніше - тільки геометрію. Його "Начала" лежать в основі переважної більшості шкільних підручників геометрії. Наукові дослідження спираються в значній мірі на систему Евкліда, на її аксіоматично-дедуктивний метод.

Евклід, автор "Начал", жив близько 300 р. до н.е. в Александрії, столиці держави, що утворилася в Єгипті після розпаду величезної держави Александра Македонського. В Александрії. великому торговому центрі і економічно розвинутій столиці могутньої держави Птолемеїв, був заснований єдиний в своєму роді науковий і навчальний центр - Мусейон (що означає притулок, помешкання муз). Наукову роботу в Мусейоні на умовах державного забезпечення, постійно або тимчасово, вели найкрупніші вчені античності: Евклід, Архімед, Апполоній, Ератосфен та ін. Бібліотека Мусейону нараховувала до 500 тис. рукописів. Сприятливий вплив Мусейону на розвиток науки тривав близько 6 століть. На початку нашої ери під згубною дією завойовницьких війн римлян його значення стало зменшуватись. Пізніше Мусейон був знищений, а вчені розігнані або навіть фізично знищені внаслідок переслідування реакційного християнського духовенства.

Наукове і педагогічне значення "Начал", що проявлялось в ході розвитку математики, було надзвичайно великим. Тому розглянемо їх зміст більш детально. Складаються вони з 13 книг (частин). Зміст кожної з книг являє собою послідовність теорем. Першій книзі передують означення, аксіоми і постулати; означення з'являються і в деяких інших книгах (2-7, 10, 11), аксіом і постулатів в -них немає.

Означення — це пояснення понять, що вводяться, наприклад: точка є те, що немає частин; куб є тілесна фігура, що заключена між шістьома рівними квадратами і т.п. Вони очевидним чином відображають наявність і різноманітність, що історично склалася до часу життя Евкліда, абстракцій.

Аксіоми - це речення, що вводять відношення рівності або нерівності величин. їх в "Началах" Евкліда п'ять:

Рівні одному й тому рівні між собою.

Якщо до рівних додаються рівні, то й цілі будуть рівні.

Якщо від рівних відняти рівні, то й залишки будуть рівні.

Ті, що суміщаються (при накладанні) рівні.

Ціле більше його частини.

Можливість геометричних побудов і операцій обґрунтовується введенням постулатів. їх також п'ять:

Через дві точки можна провести пряму.

Відрізок прямої можна продовжити необмежено.

З всякої точки довільною відстанню можна описати коло.

Всі прямі кути рівнів.

Якщо дві прямі, що лежать в одній площині, перетинаються третьою і якщо сума внутрішніх односторонніх кутів менша двох прямих кутів, то прямі перетинаються з тієї сторони, де це має місце.

Переписувачі і коментатори, а потім багаточисельні видавці і дослідники пробували критикувати і видозмінювати систему основних висловлень "Начал". В переважній більшості випадків ці спроби були невдалими. Проте з часом поступово проявились логічні недосконалості евклідової системи: логічна перевантаженість означень, незабезпеченість можливості накладання фігур, відсутність критеріїв перетину кіл і прямих та ін. Реальні зрушення в удосконаленні аксіоматичних основ геометрії були досягнуті значно пізніше, тільки в другій половині XIX ст.

Метод побудови системи "Начал" і форма викладу мали наступні особливості:

а) Метод був синтетичним. Для доведення якої-небудь теореми Евклід виходить із завідомо справедливого твердження. З нього він розвиває послідовність наслідків, що приводять до шуканого твердження. Зворотній напрямок міркувань, що називається аналізом, в "Началах" не зустрічається.

б) Доведення будувались за єдиною схемою: формулювання задачі або теореми; побудова креслення; пояснення задачі на кресленні; побудова допоміжних ліній; доведення;

пояснення того, що доведено; твердження, що доведене розв'язує задачу або адекватне теоремі. В дещо спрощеній формі ця схема стала традиційною. Вона дійшла до наших днів як класичний зразок математичного судження, якому в основному слідують і зараз.

в) В "Началах" ніде не йде мова про вимірювання, а лише про відношення довжин відрізків, площ фігур і об'ємів тіл відповідно.

Перейдемо до огляду змісту всіх 13 книг "Начал". Книги 1 - 6 - планіметричні, з них книги 1 - 4 містять ту частину планіметрії, в якій ще не використовується теорія пропорцій. В першій книзі вводяться основні побудови, дії над відрізками і кутами, властивості трикутників, прямокутників і паралелограмів. Завершує книгу теорема Піфагора і обернена їй. В другій книзі розглядається відношення між площами прямокутників і квадратів, підібраних таким чином, що вони утворюють геометричну інтерпретацію алгебраїчних тотожностей і розв'язань задач, що зводяться до квадратних рівнянь. Цей матеріал відомий серед дослідників під назвою "геометрична алгебра древніх". Третю книгу складають теореми про властивості круга і кола, хорд і дотичних, кутів центральних і вписаних. Четверта книга присвячена властивостям правильних многокутників, як вписаних так і описаних, а також способам побудови правильних 3-, 4-, 5-, 6- і 15- кутників.

В п'ятій і шостій книгах розвивається загальна теорія відношень, що є прообразом теорії дійсного числа в формі, розвиток якої привів значно пізніше, в XIX ст., до дедекіндових розрізів. Спочатку вводяться відношення, їх рівності, нерівності, описуються властивості. Потім мова йде про теорію пропорцій, в тому числі похідних (що утворені допустимими перетвореннями членів пропорцій) і складних (утворених з декількох заданих пропорцій). Цей загальнотеоретичний матеріал використовується в 6-й книзі до геометрії. Доведені, наприклад, теореми про відношення площ прямокутників і паралелограмів, що мають спільну висоту, про пропорційність відрізків, що відтинаються на сторонах кута парою паралельних прямих, про подібність фігур і про відношення площ подібних фігур. Сюди ж включена група теорем, в якій узагальнюються теореми 2-ї книги. Узагальнення полягає в тому, що крім прямокутників розглядаються і паралелограми. В близькій нам алгебраїчній інтерпретації це трактується як метод розв'язування задач, що зводяться до повних квадратних рівнянь.

Наступна група книг (7 - 9) містить античний еквівалент теорії раціональних чисел, за ними закріпилась назва арифметичних. Здавалось би логічним, щоб автор "Начал" не відволікався, а виклав би в цих книгах стереометрію, тобто систему просторових уявлень, проте непослідовність тут тільки така, що здається. Справа в тому, що в кінці свого твору Евклід досліджує правильні многогранники і визначає відношення їх ребер до діаметра описаної сфери. Ці відношення виражаються, як відомо, квадратичними, біквадратичними ірраціональностями, тому Евкліду і прийшлось розглянути побудову і класифікацію таких ірраціональностей. Щоб виконати цю задачу, він спирався на ряд тверджень з теорії раціональних чисел (у Евкліда- сумірних відрізків). Раціональні числа, в свою чергу, Евклід представляє як відношення цілих чисел.

Історики науки відмічають, що арифметичні книги "Начал" містять вчення про цілі числа і їх відношення, взяте в основному з піфагорійської математики. Збереження принципово різного смислу понять числа і загальної величини послужило причиною повторення в арифметичних книгах багатьох фактів теоретико-числового характеру, вже отриманих в 5-й книзі "Начал".

10-а книга виділяється в першу чергу громіздкою класифікацією всіх 25 можливих видів біквадратних ірраціональностей. Їй передують різні самі по собі важливі твердження, що грають роль лем. Серед них, наприклад, знаходиться основна лема методу вичерпування: якщо від заданої величини відняти частину, більшу, ніж її половина, з залишком повторити те саме і т.д., то при достатньо великому числі операцій можна отримати величину, меншу будь-якої заданої. Крім того, в 10-й книзі знаходяться спосіб

відшукання необмеженого числа піфагорових трійок цілих чисел, критерій сумірності двох величин, що ґрунтується на алгоритмі поперемінного віднімання, відшукання загальної найбільшої міри сумірних величин та ін.

Останні три книги "Начал" (11 - 13) - стереометричні. Перша з них відкривається великим числом означень, що повністю природно, так як в попередніх книгах питання стереометрії не розглядались. Потім слідує ряд теорем про взаємне розміщення прямих і площин в просторі і теореми про многогранні кути. Останню третину цієї книги складає розгляд відношень об'ємів паралелепіпедів і призм.

Обчислення об'ємів інших елементарних тіл (пірамід, циліндрів, конусів і куль) вимагає обов'язкового виконання граничних по суті переходів. В 12-й книзі відношення об'ємів всіх згаданих тіл знайдені за допомогою методу, що отримав пізніше (поч. З XVII ст.) назву методу вичерпування. Ідея цього методу, що являється своєрідною античною формою методу границь, полягає в наступному: Евклід встановлює, що площі подібних правильних многокутників, вписаних в круги, відносяться як квадрати діаметрів. Потім круги "вичерпуються" послідовностями площ правильних вписаних 2 -кутників (п = 2.3,4,...). Відношення останніх при збільшенні числа сторін залишаються незмінними. Після неявного переходу до границі методом від супротивного доводиться, що площі кругів відносяться як квадрати їх діаметрів.

Остання, 13-а книга містить побудову п'яти правильних многогранників: тетраедра (4-гранника), гексаедра (6-гранника), октаедра (8-гранника), додекаедра (12-гранника), ікосаедра (20-гранника). В заключення доводиться, що інших правильних многогранників не існує. В цій же книзі визначається відношення об'ємів куль.

Як бачимо, "Начала" Евкліда не можуть бути охарактеризовані ні як науковий трактат з геометрії, ні як навчальна книга. Дійсно, крім елементарно-геометричного матеріалу в цю книгу були включені: основи теорії раціональних чисел; загальна теорія відношень величин; теорія пропорцій, що спирається на неї; теорія квадратних і біквадратних ірраціональностей; елементи алгебри; метод вичерпування. Геометричною була лише форма викладу; як ми вказували вище, вона забезпечувала найвищу для того рівня математичних знань загальність.

Крім того, в "Началах" не міститься навіть спроби охопити широке коло геометричних відомостей. В них немає інформації про конічні перерізи, про вже відомих математикам давнини класах алгебраїчних і трансцендентних кривих. Немає в цьому творі і геометричних суджень інфінітезимального характеру (за виключенням методу вичерпування), з таким успіхом розвинутих в творах інших математиків античності, зокрема в роботах Архімеда. Накінець, немає в "Началах" навіть елементів методичного характеру, які б свідчили про їх навчальне призначення або використання.

Що ж являють собою "Начала"? Це - перша з відомих нам спроб побудови системи основ математики, що історично склалася. Мабуть, головною турботою автора було забезпечення максимально можливого високого рівня того, що ми зараз називаємо математичною строгістю. Логічна структура цього твору відображає історичний шлях ранніх етапів формування математичних теорій від порівняно нескладних, типу геометричної алгебри, до більш загальних і складних. Ймовірно, важливу роль при цьому грала націленість на розв'язування задачі про правильні многогранники. Деякі спеціалісти з історії науки, наприклад Ван дер Варден, відмічають компілятивний характер змісту і структури "Начал".

Архімед належить до тих геніїв, творчість яких на багато віків визначила долю науки. За вагомістю здобутих результатів і силою таланту з ним можуть зрівнятися лише Ньютон і Ейлер. Справою життя Архімеда була математика. Він створив нові методи обчислення площ і об'ємів фігур, обмежених кривими лініями й криволінійними поверхнями; відкрив багато глибоких залежностей у геометричних фігурах; йому належать видатні відкриття в механіці, гідростатиці, оптиці й технічні винаходи.

Апполоній Пергський - автор багатьох математичних праць, зокрема 8 книг "Про конічні перерізи" (збереглося 7 книг), в яких повно й глибоко викладено теорію кривих ліній другого порядку. У цей же час в Александрії працював Ератосфен Кіренський, який займався арифметикою, геометрією, астрономією, хронологією, географією, історією, мовознавством, писав вірші. До нього Архімед надсилав свої твори з новими теоремами й задачами. Через Ератосфена Архімед передав александрійським ученим знамениту задачу про биків. У ній потрібно було обчислити кількість биків і корів чотирьох мастей у

череді. Задача зводиться до рівняння: .

Кількість білих биків дорівнює , а всіх разом 776610206541.

Широко відомий спосіб складання таблиць простих чисел - решето Ератосфена.

Учений обчислив, що довжина земного меридіана становить 252 000 стадій. Якщо покласти, що стадія - це приблизно 157,7 м, то коло меридіана за Ератосфеном дорівнюватиме 39 740 400 м (за сучасними вимірюваннями -40 008 400 м).

У кінці III ст. до н.е. починаються римські завоювання. У 212 р. до н.е. Римська армія/захопила Сіракузи, при цьому від меча римського легіонера загинув і великий Архімед. До 146 р, до н.е. римляни підкорили й перетворили на пустелю майже всю материкову Грецію. Квітучі міста лежали в руїнах, гинули люди й безцінні скарби античної культури. 31 р. до н.е. римські легіонери взяли Александрію. При цьому згоріла частина знаменитої бібліотеки Мусейону.

Умови для наукової роботи були надзвичайно несприятливими і математичні дослідження в країнах, підкорених римлянами, майже повністю припиняються. Талановиті інженери, винахідники, астрономи, що працювали в Александрії та інших містах, розв'язували окремі цікаві задачі, доопрацьовували деталі у великих творіннях попередників, але не змогли висунути нових продуктивних ідей чи створити великі узагальнюючі праці.

Герон Александрійський (І ст.) - талановитий інженер і винахідник викладав у Мусейоні, конструював різні машини. У його книжці "Метрика" міститься відома формула Г'ерона для обчислення площі трикутника.

Менелай Александрійський (І - II ст.) в книжці "Сферика" дав систематичний виклад сферичної геометрії - першої геометричної системи, відмінної від евклідової. Близько середини II ст. в Александрії працював знаменитий астроном Клавдій Птолемей (пом. 170 р.). Його "Математична побудова" ("Альмагест" - від грецьк. "найбільша") містила математичну модель видимого руху небесних тіл - відому Птолемеєву геоцентричну систему світу.

Своєрідним чудом, загадкою історії є "Арифметика" Діофанта Александрійського, яка з'явилася в III ст. У книжці надзвичайно багато нових ідей, цікавих задач, а також загадок. Чимало цих загадок ще й досі не розв'язані, хоч над ними працювали видатні математики різних епох і народів.

На початку IV ст. в Александрії працював прекрасний знавець античної математики Папп, автор цікавої книжки "Математичне зібрання", в якій сформульовано і доведено ряд важливих теорем елементарної і проективної геометрії.

У цей час набирає сили християнська релігія, яка виникла на початку нашої ери. Церковники спрямували свою' ненависть проти всієї античної науки й культури. У полум'ї пожеж гинули не тільки язичеські храми, а й безцінні скарби людської думки - книжки. Учених переслідували або й знищували. Так, у березні 415 р. в Александрії натовп ченців по-звірячому вбив відому жінку-вченого, філософа і математика Гіпатію Александрійську за те, що вона не прийняла християнства.

У 529 р. імператор Юстиніан закрив Афінську академію, і вчені залишили Афіни, більшість їх переїхала в Іран. Наукові центри античного світу припинили своє існування.

Рекомендована література:

[1] с.69-97; [4] с.44-46; [5] с.35-66; [6] с.59-95; [7] с.52-84; [9]:

1. Рьібников К.А. Геометрия: Наука й учебная дисциплина/ 83, №6, с.56.

[1] с, 44-97; [4] с. 28-31; [6] с, 46-95; [7] с. 52-84

Лекція №4

Математика Середньої Азії та Близького Сходу після занепаду античного суспільства.

У VII ст. на Аравійському півострові виникла нова релігія - іслам (буквально означає покірність). Її заснував Магомет. Послідовники цієї релігії називаються мусульманами. Наступники Магомета, (халіфи) протягом VII-ІХ ст. завоювали велетенські території, на яких утворилася держава - арабський халіфат. До його складу входили вся північна Африка, Піренейський півострів, південь Італії, Середня Азія, частина Закавказзя та Індії. На цих територіях державною стала арабська мова. Тому науку, зокрема й математику цього часу, часто називають арабською, що, звичайно, неправильно. Її творили представники різних народів, які змушені були працювати в столицях окремих держав халіфату (наприклад, Дамаску, Багдаді) і писати арабською мовою. На території халіфату в різні часи відбувалися жорстокі війни, у результаті яких окремі народи ставали жертвами навал завойовників. Так, у XI ст. Середню Азію, Іран, Сірію і Месопотамію загарбали турки-сельджуки. У ХIII ст. монголи вбили останнього халіфа й ліквідували арабський халіфат.

Ученим доводилося працювати в надзвичайно важких умовах безперервних воєн і переслідувань. Чимало з них жили полоненими або поневірялися на чужині.

У VIII-Х ст. на арабську мову було перекладено індійські сіддханти ("вчення"), праці Евкліда, Архімеда, Аполлонія, Менелая, Птолемея, Діофанта та інших учених. Засвоївши наукову спадщину минулого, учені країн ісламу створили і власну своєрідну математичну культуру. Головні зусилля вчені спрямували на розв'язання практичних задач, на основі яких формувалися нові плідні математичні ідеї. Вони виконали важливі теоретичні дослідження в галузі арифметики і теорії чисел, алгебри, геометрії і тригонометрії.

Великою заслугою вчених країн ісламу була популяризація й поширення десяткової позиційної системи числення. Її виклав видатний таджицький математик, астроном і географ ал-Хорезмі Абу Аб-далла Мухаммед ібн Муса ал-Маджусі (787 - бл. 850). Народився цей вчений у Хорезмі, жив і працював при дворі халіфів у Багдаді, де ймовірно очолював своєрідну академію ⎯ "Будинок мудрості".

Світову славу принесли Хорезмі його математичні праці: трактати "Про індійську лічбу" і "Коротка книжка про числення ал-джабр і ал-мукабали".

Історична місія першого трактату полягає в тому, що завдяки йому стало відомим відкриття індійських математиків ⎯ десяткова позиційна система числення. Видатний французький математик, основоположник небесної механіки П'єр Лаплас (1749 - 1827) писав про нього: "Думка подавати всі числа небагатьма знаками, надаючи їм, крім значення за формою, ще значення за місцем, настільки проста, що саме через цю простоту важко оцінити, настільки вона дивовижна. Як нелегко прийти до цього, ми бачимо ясно на прикладі найвидатніших героїв грецької вченості - Архімеда і Аполлонія, від яких ця думка залишилася прихованою". Хорезмі зрозумів і по-справжньому оцінив винахід індійських учених. У своєму арифметичному трактаті він описав дев'ять індійських цифрі "маленький кружечок", на зразок "О", який відповідав порожньому розряду; докладно пояснив чотири арифметичні дії і добування квадратного кореня з індійськими цифрами, дії із шістдесятковими і звичайними дробами і добування квадратних коренів. Посібник Хорезмі (у виданні математичних трактатів ученого він займав лише 16 сторінок) ознайомив учених середньовічної Європи з десятковою позиційною системою числення і заснованою на ній арифметикою. Латинізована форма прізвища вченого Algorismus, або Algorithmus, означала тоді всю систему десяткової позиційної арифметики. У сучасній математиці поняття алгоритму - одне з фундаментальних понять всієї математики і означає інструкцію про виконання в певному порядку деякої системи операцій, за допомогою яких розв'язуються задачі певного класу.

Алгебраїчний трактат Хорезмі дав ім'я одному з важливих розділів математики ⎯ алгебрі. У книжці викладено початки алгебраїчного числення - правила алгебраїчних перетворень, дії з одночленами і многочленами, включаючи правила "ал-джабр" і "ал-мукабала". За допомогою двох останніх операцій будь-яке квадратне рівняння і рівняння першого степеня можна було звести до однієї із шести канонічних форм: ах2=bх, ах2=с, bх=с, ах2+bх=с, ах2+с=b, bх+с=ах2.

Операція "ал-джабр" (зведення, виправлення) полягає в перенесенні членів з однієї частини в другу так, щоб в обох частинах рівняння були тільки додатні члени. В іспанській і португальській мовах слово "algebra" означає хірургію взагалі і мистецтво хірурга відновлювати пошкоджені органи. В рівнянні перенесення від'ємних членів з однієї частини в другу (звичайно, з протилежними знаками) теж ніби відновлення, зведення рівняння до однієї з канонічних форм. "Ал-мукабала" - це почленне віднімання від обох частин рівняння однакових членів. Наприклад, застосування до рівняння 3х2+Зх+3=2х2-7х+42 операції "ал-джабр" приводить до рівняння 3х2+10х+3=2х2 +42, застосування "ал-мукабали" до рівняння x2+10x=39.

Квадратні рівняння ал-Хорезмі розв'язує за допомогою геометричних побудов, трактуючи їх як відрізок, х2 - як квадрат із стороною |х|. У Х ст. квадратні рівняння розв'язують уже без геометричних побудов.

Багдадський математик і астроном Абул-Вафа Мухаммед ібн Мухаммед ал-Бузджані (10.VІ.940 – 1.VIIІ.998) прославився працями з геометрії, тригонометрії і практичної астрономії, оригінальною „Книгою про те, що потрібно реміснику з геометричних побудов". Арифметичний трактат Абу-л-Вафи був єдиною в країнах ісламу книгою, в якій на той час застосовувалися від'ємні числа.

Різносторонній математик, географ, астроном, історик, етнограф і поет Абу-р- Рейхан-Мухаммед ібн Ахмед ал-Біруні (973-1048) народився в м. Кяти (тепер в м. Біруні Каракалпакії). Його математичні праці присвячені майже всім розділам сучасної йому математики.

У галузі теоретичної арифметики вчений займався підсумуванням рядів і комбінаторними задачами. В Індії він почув задачу, яку задав винахідник гри шатрандж (арабська назва шахів) царю Шераму, і обчислив суму 64 членів геометричної прогресії: 1+2+22+23+... .

Біруні високо цінував математичне дослідження структури індійського вірша, виконане індійським математиком Брахмагуптою (бл.598-660). Вивчення теорії індійського вірша і привело Біруні до комбінаторних задач.

Викладаючи системи числення, Біруні розглянув десяткову "індійську" позиційну систему і шістдесяткову "арабську", в якій для нуля використовувався спеціальний знак. Окремий трактат учений присвятив широко відомому на Середньому і Близькому Сході, а потім і в Європі методу практичної арифметики ⎯ "правилу трьох".

У багатьох творах ученого знаходимо численні зауваження з проблем ірраціональностей. Докладніше він торкається цієї теми при розгляді способів обчислення числа π. Навівши в одній з праць наближене значення числа π, Біруні висловлюється за розширення поняття числа, тобто в наших термінах,- за введення множини дійсних додатних чисел.

Серед праць, які дійшли до нас, немає спеціально присвячених алгебрі. Але в інших творах знаходимо багато алгебраїчного матеріалу. У "Науці зірок" дається класифікація квадратних рівнянь, способи розв'язування рівнянь виду ах+b=с, систем лінійних рівнянь.

В інших книжках Біруні розглядає розв'язання квадратних рівнянь. До кубічного рівняння зводить він задачу визначення довжини хорди круга, тобто сторони правильно вписаного в коло дев'ятикутника. Способу розв'язування кубічних рівнянь Біруні не дає, проте зазначає, що вони розв'язуються "послідовним добором", і докладно описує обчислення довжини хорди круга за допомогою спеціального ітераційного алгоритму.

У трактаті „Хорди" Біруні дає різні доведення теореми Архімеда про властивості ламаної, вписаної в коло. Ця теорема полягає в тому, що коли в коло вписати ламану, яка складається з двох ланок АВ і ВС, і з середини дуги АС, яка стягується ламаною, опущено перпендикуляр ОМ на більшу її ланку (мал. 1), то останній ділить ламану на рівні частини, тобто |АМ|=|МВ|+|СВ|. Біруні наводить три доведення цієї теореми, які належать самому Архімеду, двадцять – математикам середньовічного Сходу і вісім власних. У цьому самому трактаті Біруні доводить відому теорему Герона: S= , де р= (а+b+с), та її узагальнення – теорему про визначення площі чотирикутника, вписаного в круг, за його сторонами:

S= .

Використовуючи доведені ним властивості ламаної, вписаної в коло (|АВ|·|ВС|+|ВD|2=|АD|2і |АВ|·|ВС|+|АD|2=|DВ|2), Біруні обчислює сторони правильних трикутника і шестикутника, вписаних у коло. Він також дає правила для обчислення сторін правильних чотирикутника, п'ятикутника і десятикутника. Про сторону правильного вписаного семикутника, обчислення якої зводиться до рівняння х3+х2-2х-1=0, яке не можна звести до квадратичного із цілими коефіцієнтами, вчений зауважує: "Це те, до чого і в наш час немає шляху".

Особливо велику увагу він приділив одній з відомих задач давнини - трисекції кута. У задачі треба поділити довільний кут на три рівні частини за допомогою лише циркуля і лінійки без поділок.

Якщо позначити даний кут через 3α, то, як відомо,

соs 3α = 4 соs3α - 3 соsα,

або

2 соs3α = 8 соs3α - 6соsα.

Позначимо 2 соs3α через α, а 2 соsα – через х. Дістанемо рівняння

х3-Зх-α= 0.

Щоб довести, що цю задачу не можна розв'язати в загальному вигляді, досить зазначити принаймні один кут, для якого трисекція не здійснюється. Нехай 3α =60°, тоді соs3α = , і рівняння набере вигляду: x3-Зх-1=0. Це рівняння не має раціональних коренів, бо раціональними коренями цього рівняння можуть бути лише дільники вільного члена, тобто числа 1 або -1. Але ні те, ні друге число рівняння не задовольняють. За іншою теоремою, якщо корінь зведеного кубічного рівняння з раціональними коефіцієнтами можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки, то це рівняння має принаймні один раціональний корінь.

Отже, в загальному випадку трисекцію кута за допомогою циркуля і лінійки виконати неможливо. Але її можна розв'язати за допомогою так званого способу вставки, користуючись циркулем і лінійкою з поділками. Учений наводить дванадцять способів трисекції кута, в тому числі і знайдений ним самим.

Особливе місце в математичній творчості Біруні займає тригонометрія. Одним з перших він дав означення всіх шести тригонометричних ліній у крузі.

Узагальнюючи правила, рівносильні сучасним формулам:

sin 2α = 2sinα cosα, sin =± ,

Біруні виводить такі формули:

sin = ,

sin = ,

sin = .

Багато уваги приділив математиці відомий природодослідник, лікар і поет, таджик за національністю Ібн Сіна Абу Алі ал-Хусейн ібн Абдалла (Авіценна) (бл. 980- 18. VI. 1037).

Іранський математик ал-Караджі, або ал-Кархі, (пом. 1016) - автор двох великих математичних трактатів з арифметики та алгебри. У цих працях він не тільки підсумував результати деяких своїх попередників, а й зробив власні цікаві додатки.

Багато важливих відкриттів у різних розділах математики зробив видатний перський математик, астроном, філософ і поет Хайям Абу-л-Фатх Омар ібн Ібрахім (1048 - бл. 1131). Відомі два алгебраїчні трактати Хайяма: "Трактат про доведення задач алгебри і альмукабали" і "Коментарі до важких постулатів книги Евкліда". Він уперше дає означення алгебри як науки про розв'язування рівнянь, які потім стали називати алгебраїчними. Учений дає класифікацію лінійних, квадратних і кубічних рівнянь зі старшим коефіцієнтом, який дорівнює 1, визначає 25 канонічних видів рівнянь, в тому числі 14 видів кубічних. Загальним методом розв'язування рівнянь визначається графічна побудова додатних коренів за допомогою відшукання абсцис точок перетину кривих другого порядку – кола, параболи, гіперболи. Для кожного класу рівнянь добирається відповідна пара кривих, а потім визначається можливе число і межі додатних коренів рівнянь. Спроби розв'язати кубічні рівняння в радикалах не мали успіху, але вчений проникливо завбачив, що це зробить "хтось з тих, хто прийде після нас". Ці відкривачі справді прийшли, тільки через 400 років. Ними були італійські вчені Дель Ферро і Н. Тарталья. Хайям перший зазначив, що кубічне рівняння може мати два корені, хоча й не побачив, що їх може бути й три. Хайяму належить цікава спроба довести знаменитий V постулат Евкліда.

При дворі монгольського Хулагу-хана жив і працював відомий азербайджанський математик і астроном ат-Тусі Насір ад-Дін Абу Джафар Мухаммед ібн Мухаммед (17.11.1201-1274). У м. Маразі він організував одну з кращих для того часу астрономічну обсерваторію, для роботи в якій було запрошено вчених з різних міст. Вони провели ряд важливих математичних і астрономічних досліджень.

У Самаркандській астрономічній обсерваторії Улугбека Мірзи Мухаммеда ібн Шахруха ібн Тіму-ра (22.111.1394-1449) працював відомий математик і астроном Гійас ад-Дін Джемшід ал-Каші (пом. бл.1430 р.). Ал-Каші опублікував у 1427 р. трактат „Ключ арифметики" - цікавий посібник з елементарної математики, в якому виклав теорію та алгоритми дій з десятковими позиційними дробами. Це визначне відкриття в Західній Європі зробив Симон Стевін (1548-1620) тільки через 135 років. У "Трактаті про коло" ал-Каші за допомогою обчислення периметрів правильних вписаних у коло многокутників, аж до 3·228-кутника, дістав 17 правильних десяткових знаків числа 2π = 6,28311853071795865. Цей результат у 1597 р. знову дістав А. ван Роомен за допомогою вписаних многокутників (до 230-кутника).

Багато уваги приділили вчені країн ісламу обчислювальній математиці, астрономічним і тригонометричним обчисленням. Вони відкрили ряд важливих залежностей прямолінійної і сферичної тригонометрії. Майже всі вони прагнули вдосконалити "Начала" Евкліда. Йшлося, насамперед, про розкриття таємниці теорії паралельних. V постулат Евкліда прагнули довести Омар Хайям, ат-Тусі і багато інших математиків країн ісламу. При цьому було зроблено ряд видатних відкриттів, які підготовляли відкриття неевклідової геометрії.

На початку XI ст. в райони Іспанії, звільнені від маврів, почали приїжджати вчені з багатьох країн Західної Європи, щоб ознайомитися з математичними й природничими науками. Там перекладалися з арабської на латинську мову праці учених країн ісламу та античного світу. Сучасні терміни: цифра, арабська цифра, алгебра, алгоритм, корінь, синус, численні астрономічні терміни й назви багатьох зірок теж походять з Близького Сходу. Наука Західної Європи зводилася швидкими темпами на міцному фундаменті досягнень попередників, зокрема математиків країн ісламу.

Рекомендована література:

[1] с. 116 - 131; [4] с. 88 - 96; [5] с. 72 - 94; [6] с. 97 - 106; [7] с. 85 - 102.