Взвешенное среднее: учет важности

Взвешенное среднее (используют также термин средневзвешенное) похоже на среднее, но позволяет присвоить различную важность (значимость), или “вес”, каждому элементу данных. Взвешенное среднее дает возможность гибко определять систему важности отдельных элементов данных в том случае, когда их нельзя рассматривать как равноценные.

Если у фирмы три завода, при анализе пенсионных расходов не нужно брать простое среднее типических размеров пенсионных расходов на каждом из трех заводов, как типическое значение общих пенсионных расходов, особенно, если заводы отличаются по размеру. Если численность служащих на одном заводе в два раза превышает численность служащих на другом заводе, по-видимому, будет разумным при вычислении обобщающего показателя учесть пенсионный фонд первого завода дважды. Средневзвешенное позволит вам обобщить данные, используя веса, определенные в соответствии с размером каждого завода.

Веса обычно представляют собой положительные числа, сумма которых равна 1. Не волнуйтесь, если первоначально вычисленная сумма весов не равна 1. Вы всегда сможете откорректировать значения весов, разделив каждый вес на сумму всех других весов. Исходные веса можно было бы определять исходя из численности служащих, рыночной стоимости или любого другого объективного показателя, а также можно воспользоваться субъективным методом (руководствуясь чьим-то личным мнением или мнением эксперта). Иногда легче выбирать веса, не заботясь, чтобы их сумма была равна 1, а затем преобразовать их, разделив каждый на общую сумму.

Предположим, вы решили вычислить средневзвешенное пенсионных расходов для трех заводов, присвоив веса в соответствий с численностью служащих. Если численность служащих равна 182, 386 и 697, то веса соответственно равны:

182/1 265 = 0,144;

386/1 265 = 0,305;

697/1 265 = 0,551.

Обратите внимание, что значение веса получено путем деления численности служащих на данном заводе на общее количество служащих трех заводов — 182 + 386 + 697 = 1 265. Сумма полученных весов, как это и требуется, равна 1: 0,144+0,305+0,551=1.

Для вычисления взвешенного среднего каждый элемент данных умножают на присвоенный ему вес и суммируют полученные значения. Соответствующая формула имеет такой вид.

X_взв.=

где — соответствующие веса, сумма которых равна 1. Вы можете счи­тать обычное (не взвешенное) среднее также средневзвешенным, в котором все элементы данных имеют одинаковый вес, равный 1/n.

Средневзвешенное значений 63, 47 и 98 с весами, равными 0,144; 0,305; и 0,551, соответственно, равно:

(0,144*63) + (0,305 * 47) + (0,551 * 98) = 9,072 + 14,335+53,998 = 77,405.

Обратите внимание, что, как и следовало ожидать, средневзвешенное отличается от обычного (не взвешенного) среднего этих трех значений (53 + 47 + 98)/3 = 69,333. При вычислении средневзвешенного наибольшее значение имеет вес 0,551 (что больше, чем одна треть суммарного веса). Вот почему в нашем случае средневзвешенное больше, чем обычное не взвешенное среднее.

Средневзвешенное лучше всего интерпретировать как среднее, используемое в ситуациях, когда одни элементы более важны, чем другие. Более важные элементы вносят больший вклад в значение средневзвешенного.

Пример. Ваш средний балл.

Средний балл ваших результатов обучения в университете вычисляется как взвешенное среднее. Это связано с том, что некоторые курсы оцениваются большим количеством очков и, следовательно, являются более важными по сравнению с другими. Вполне разумно, если курсу, который оценивается в два раза больше, чем другой, присваивается вдвое больший вес, и средний балл это отражает.

В разных университетах используют разные системы оценок. Предположим; что система оценок в вашем университете включает оценки от 0,0 (незачет) до 4,0 (отлично) и в конце семестра ваша карточка с оценками имеет такой вид.

Курс	Очки	Оценка
Статистика Экономика Маркетинг Спецкурс	5 5 4 1	3,7 3,3 3,5 2,8
Итого	15

Веса можно вычислить, разделив количество очков по текущему курсу на 15 — общую сумму очков. Ваш средний балл рассчитывают как средневзвешенное ваших оценок, взвешенное в соответствии с количеством очков каждого из курсов:

(5/15*3,7)+(5/15*3,3)+4/15*3,5)+1/15*2,8)=3,45.

Низкая оценка за спецкурс не сильно повлияла на ваш средний балл, равный 3,45 потому что вес этой оценки мал (всего 1/15). Если бы эти четыре оценки были просто усреднены, то результат был бы ниже (3,33).

Пример. Корректировка недостаточной репрезентативности.

Взвешенное среднее используют, чтобы скорректировать недостатки репрезентативности выборки по отношению к интересующей вас генеральной совокупности. Поскольку среднее выборки учитывает все элементы одинаково, а вам известно, что (по сравнению с генеральной совокупностью) некоторые группы элементов представлены избыточно, а другие, наоборот, - недостаточно, то более точный результат можно получить, используя взвешенное среднее. Взвешенное среднее будет точнее, поскольку в нем известная информация о каждой группе (взятая из выборки) будет объединена с дополнительной информацией о представительстве каждой группы (в генеральной совокупности, а не в выборке).

Рассмотрим выбору 300 жителей Кливленда с точки зрения затрат людей на медицинские товары. Предположим, что процент молодых людей (до 18 лет) в этой выборке (21,7%) не соответствует известному проценту для всего населения города (25,8%) и что средние денежные расходы, подсчитанные для каждой группы отдельно, составляют:

средние денежные расходы для людей моложе 18 лет — $4,86;

средние денежные расходы для людей старше 18 лет — $7,06.

При вычислении средневзвешенного этих затрат будем использовать веса не выборки, а известные нам веса генеральной совокупности, т.е. будем считать, что имеем дело с 25,8% молодых людей и 74,2% людей старше 18 лет (разность 100% — 25,8%). Конечно, если бы были известны оценки расходов для города в целом, то вы бы их также использовали. Но такие, данные вам недоступны. Вам известны расходы только для 300 человек из выборки. После преобразования процентов в веса взвешенное среднее вычисляется следующим образом:

взвешенное среднее расходов = (0,258 * $4,86)+(0,742 х $7,08) = $6,49.

Взвешенное среднее $6,49 дает лучшую оценку среднего значения расходов на медицинские товары в Кливленде, чем обычное (не взвешенное) среднее ($6,58). Взвешенное среднее лучше, поскольку оно содержит поправку на слишком большой процент людей в возрасте старше 18 лет в нашей выборке из 300 человек. Так как люди такого возраста тратят больше, то без поправки средняя оценка расходов получатся завышенной($6,58 по сравнению с $6,49).

Конечно же, даже эта новая взвешенная оценка может быть неверной: Но она основана на большем объеме информации, поэтому ожидаемая ошибка будет меньше, что можно доказать с помощью математических моделей. Новая оценка не обязательно каждый раз будет лучше (т.е. и в данном примере обычное, не взвешенное, среднее может в действительности быть ближе к истине), но вероятность того, что взвешенная оценка 6удет ближе к истине, намного больше.