Заняття № 7 Розробка програми чисельного інтегрування функцій методом трапецій
Мета роботи: Закріплення знань із застосування методів чисельного
інтегрування функцій, розробка відповідного алгоритму і програми на мові Pascal і застосування її для розв’язання індивідуального завдання.
7.1. Теоретичні відомості
У загальному
випадку звичайний визначений інтеграл
безперервної функції
на відрізку [a,
b]
можна обчислити за формулою Ньютона-Лейбніца:
, (7.1)
де - першообразна функції , F’(x) = .
Він дорівнює площі фігури, обмеженої прямими x = a та x = b, віссю
абсцис Х
і кривою підінтегральної функції
:
f
I
0 x0=a xn=b x
Чисельне інтегрування застосовується, коли визначення функції F(x) неможливе, або воно дуже складне, коли функція задана таблично. При цьому на відрізку [a, b] інтерполюється функцією (поліномом) простої структури φ(х), для якої визначений інтеграл обчислюється безпосередньо за простими формулами.
Тоді приблизно
приймається, що 
.
Суть методів чисельного інтегрування полягає в тому, що інтервал інтегрування [a, b] розбивається на n менших відрізків, на кожному з яких підінтегральна крива приблизно замінюється простішою функцією (наприклад лінійною). Відповідно, площа фігури під кривою розбивається на n простих геометричних фігур(прямокутників, трапецій тощо), сума площ яких приблизно дорівнює площі фігури під кривою і, відповідно, величині інтегралу І.
Формула трапецій
Виконується лінійна апроксимація функції на інтервалі [a, b]. Інтервал інтегрування розбивається на n рівних відрізків:
(7.2)
Кожний відрізок
обмежується рівновіддаленими точками
хi
значення підінтегральної функції
в яких
задані, або їх можна обчислити.
Крива у=
на малому відрізку
(хі
– хі+1)
замінюється прямою ВС.
c y=f(x) При малому h площа під кривою
B E приблизно дорівнює площі
трапеції
ABCD:
yi
yi+1
A D
xi xi+1
h
Наближене значення інтегралу І дорівнює сумі площ n таких елементарних трапецій:
Наближене значення інтегралу І дорівнює сумі площ n таких елементарних трапецій:
0
(7.3)
Тут h – крок інтегрування, визначається за формулою (7.2);
- значення підінтегральної функції
в точках
.
Геометрично формула трапецій (7.3) відповідає заміні графіка підінтегральної функції y= ламаною лінією.
Точність результату збільшується при збільшенні кількості відрізків розбиття n.
Приклад обчислення інтегралу за формулою трапецій
Підінтегральна
функція
;
a=0;
b=1.
Розбиваємо інтервал інтегрування на n=10 відрізків:
Обчислюємо значення підінтегральної функції в точках розбиття хі , і=0,…,10:
і |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
xi |
0 |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
0.9 |
1.0 |
yi |
1 |
1.0954 |
1.1832 |
1.2649 |
1.3416 |
1.4142 |
1.4832 |
1.5492 |
1.6125 |
1.6733 |
1.7321 |
Обчислюємо наближене значення інтегралу за формулою трапецій:
Точне значення інтегралу дорівнює 1.3987. Похибка інтегрування складає 0.021%.