2. Постановка задачи

Попробуем сравнить прямые Эйлера и Нагеля и ответить на вопрос, который, будучи поставлен неформально, может звучать приблизительно так:

- которая прямая «лучше», «мощнее»?³

Неформальные же соображения отдают пальму первенства прямой Эйлера.

Во-первых, точки, определяющие прямую Эйлера, «более замечательны» - если центры вписанной и описанной окружности сопоставимы и примерно равны по «степени замечательности», то точка Нагеля явно проигрывает ортоцентру (более сложная конструкция).

Во-вторых, как показывает практика (под этим словом подразумевается изучение классического наследия автором статьи по книжкам Прасолова и Шарыгина), в задачах прямая Эйлера появляется чаще, чем прямая Нагеля.

Ну, а в-третьих (уж если быть совсем неформальным), сами имена собственные подсказывают ответ: ведь они явно принадлежат математикам разных весовых категорий, и нетрудно сообразить, кто тут тяжеловес.

Однако все эти соображения ⁴ носят ярко выраженный «гуманитарный» характер⁵ (каков вопрос, таков ответ).

Но можно попробовать перевести сам вопрос на язык математики. Например, спросим так:

Верно ли, что из факта существования прямой Эйлера для произвольного треугольника следует факт существования прямой Нагеля? Верно ли обратное утверждение?

А это уже – вполне содержательные геометрические задачи.

Как будет установлено в разделе 7, прямая Эйлера действительно «сильнее» прямой Нагеля (см. утверждение 7.1, 7.3) в некотором математическом смысле. Однако, если к прямой Нагеля добавить ее «добавочных» родственников, они все вместе «уравновесят» прямую Эйлера. А именно, в разделе 7 будет также доказана основная теорема:

В любом треугольнике существует прямая Эйлера в любом треугольнике существуют прямые Нагеля.

Ее доказательство и является целью нашей работы.

В самом доказательстве будут использованы разнообразные теоремы и задачи элементарной геометрии, и мы начнем с того, что напомним о них.

3. Вспомогательные утверждения

1. Барицентрические координаты

Пусть на плоскости зафиксирован некоторый треугольник АВС. Выберем произвольную точку Р плоскости. Оказывается, вершины этого треугольника можно «нагрузить» (т.е. поместить в вершины материальные точки (возможны как положительные, так и отрицательные массы) таким образом, что центр масс этой системы совпадет с точкой Р.

Сами массы (определенные с точностью до умножения на отличную от нуля константу) называют барицентрическими координатами точки Р относительно (или, как часто говорят, в базисе) треугольника АВС.

Ниже укажем некоторые факты из области барицентрического исчисления. (Их доказательства можно посмотреть в [1] и в [2] – глава 14).

Факт 3.1.1. – координаты некоторых замечательных точек.

Обозначим стороны и углы данного треугольника АВС стандартным образом: . Кроме того, буквой обозначим полупериметр треугольника. Тогда координаты перечисленных ниже замечательных точек (в базисе треугольника АВС) имеют следующий вид (как функции сторон или углов):

Точка пересечения медиан (центр тяжести, центроид, барицентр) .

Точка пересечения высот (ортоцентр)

.

Центр описанной окружности

.

Центр вписанной окружности .

Центр вневписанной окружности .

Точка Нагеля .

Добавочная точка Нагеля .

Факт 3.1.2 Лемма о трех точках и доказательство сущестования прямых Эйлера и Нагеля с помощью барицентрических координат.

Лемма о трех точках.

Известно, что точки имеют следующие координаты относительно треугольника :

.

Тогда эти точки лежат на одной прямой, и , причем точка расположена внутри отрезка , если суммы масс имеют одинаковый знак, и вне – в противном случае.

Доказательство леммы:

По условию, центр масс системы находится в точке . Разобьем эту систему на две подсистемы : с центром масс в точке и суммарной массой , и с центром масс в точке и суммарной массой . По правилу группировки, центр масс этой системы из двух точек по-прежнему совпадает с точкой . Затем воспользуемся правилом рычага.

□

Теперь, если рассмотреть координаты точек как функции сторон, из леммы о трех точках немедленно будет следовать существование прямых Нагеля.

В отличие от геометрических доказательств (ссылка), доказательство существования прямой Эйлера методом барицентрических координат посложнее, чем аналогичное для прямых Нагеля. Однако и тут все быстро получится из леммы о трех точках, если выразить координаты через углы следующим образом: , где ; и использовать справедливое для треугольника равенство .