1. Технические показатели

а) базы добычи топлива , число баз ,

– предельный объем топлива, который выделяется для ТЭС по каждой базе на текущий год .

б) ТЭС на возможных площадках , число которых

– предельная установленная мощность каждой,

– допустимый (ограниченный) объем ввода мощностей в год

,

– годовое время использования установленной мощности.

в) нагрузки , площадки

– максимальная нагрузка каждой,

– число часов использования максимальной нагрузки.

г) Возможные трассы ЛЭП для расчетной схемы выбираются проектировщиком из числа намеченных по результатам топографических исследований. Расчетная схема с одной стороны должна быть не слишком сложной, а с другой – не слишком упрощенной, т.е. быть разумно избыточной.

2. Экономические показатели

а) – расчетный срок, временной интервал , текущий год

б) по топливным базам

– удельные капвложения на расширение добычи топлива,

– удельные затраты на добычу топлива.

в) ТЭС

– удельные капвложения на -ой станции при работе на -м топливе,

– число часов использования установленной мощности,

– удельный расход топлива.

Обычно и зависят от и и при увеличении мощности эти коэффициенты обычно уменьшаются. Чтобы работать с линейной моделью, эти нелинейности не учитываются и используются в виде констант.

Составление математической модели начинается с выбора переменных. Обозначим неизвестные установленные мощности в период t на возможных площадках при использовании возможных видов топлива с баз как .Обозначим потоки по возможным линиям от КЭС к нагрузкам как .

Для линий, которые связывают нагрузочные узлы, вводят две переменные, каждая из которых определяет поток мощности в одном из возможных направлений , . Это связано с требованием неотрицательности переменных в задачах линейного программирования. В оптимальном решении обе или одна из этих переменных обязательно окажется свободной, т.е. будет равна нулю.

Составим целевую функцию, которая должна учитывать затраты на сооружение станций, ЛЭП и затраты на топливо:

, (2.15)

где – суммарные затраты для одного временного сечения.

Общие затраты:

, (2.16)

где – коэффициент дисконтирования.

Определим ориентировочно составляющие затрат.

• Затраты в КЭС:

, (2.17)

где первое слагаемое – капитальные вложения на вводимые мощности в период t; второе слагаемое – затраты на амортизацию; третье слагаемое – ежегодные издержки, где – себестоимость выработки без топливной составляющей.

• Затраты в ЛЭП в год :

, (2.18)

где – стоимость одного километра линии;

– коэффициент аппроксимации нижней огибающей затрат.

• Затраты на топливо в год :

, (2.19)

где – капвложения в добычу; – удельная стоимость транспорта топлива; – удельная стоимость добычи топлива; – удельный расход топлива.

Составим систему уравнений и неравенств, учитывающих свойства системы и её связи.

1. Условие покрытия дефицита мощности:

. (2.20)

2. Условие баланса мощности на шинах каждой станции:

. (2.21)

3. Условие баланса в узлах нагрузок:

. (2.22)

4. Ограничения по установленной мощности станции:

. (2.23)

5. Ограничения по допустимому объему ввода мощности на отрезке :

. (2.24)

6. Ограничения по объему топлива:

. (2.25)

7. Если , то необходимо учитывать условие покрытия дефицита энерги.

. (2.26)

В модели могут учитываться и другие ограничения, например, пропускная способность ЛЭП .

В динамической модели все рассмотренные ограничения прописываются для каждого временного разреза t, что резко увеличивает размерность модели.

Если динамическая модель не вписывается в возможности ЭВМ, то динамику учитывают оптимизацией статических моделей отдельно для каждого момента времени .

Для дальнейшего сокращения оптимизационных моделей можно использовать метод декомпозиции, т.е. разделение на подсистемы (рис. 2.5). В каждой подсистеме имеются возможные площадки и нагрузки, что позволяет формировать и решать оптимизационные модели отдельно для каждой подсистемы с учетом фиксированных значений возможных перетоков обменной мощности с соседними подсистемами. В результате оптимизации для каждой подсистемы находятся установленные мощности электростанций и потоки по внутренним линиям.

Рис. 2.5 Рис. 2.6

Кроме моделей подсистем составляется координационная модель, в которой каждая подсистема рассматривается в виде узла (см. рис. 2.6). Показатели генерирующих станций ( , , ) в каждом узле определяются показателями самой неэкономичной электростанции из числа использованных в каждой подсистеме, называемых «замыкающими».

Оптимизация координационной линейной модели позволяет найти целесообразные потоки мощности между подсистемами с учетом экономических показателей их замыкающих электростанций, ограничивая использование самых неэкономичных.

После этого вновь проводится оптимизация моделей всех подсистем при найденных перетоках, определяются замыкающие станции и вновь оптимизируется координационная модель. Итерационный процесс проводится до тех пор, пока с заданной точностью не стабилизируются потоки между подсистемами.

В качестве примера рассмотрим упрощенную статическую линейную оптимизационную модель.

Пример 2.2. Составим модель для системы, имеющей дефицит 800 МВт, = 5000 ч, = 4000·10³ МВт·ч.

Для покрытия дефицита возможно сооружение КЭС-1 и КЭС-2. На КЭС-1 могут вводиться блоки по 100 и 200 МВт на каменном угле с максимальной установленной мощностью = 600 МВт. На КЭС-2 планируются блоки 100 МВт на буром угле при = 400 МВт. Выделяемые годовые объемы топлива не должны превышать по каменному углю 1800·10³ т у.т.; по бурому углю 600·10³ т у.т.

Технико-экономические показатели:

ТЭП	200У	100У	100Б
,	50	45	55
, ч	6000	5000	3000
,	0,335	0,4	0,67

Для наглядности изобразим планируемую систему в виде упрощенной схемы (рис. 2.7) и введем переменные х₁, х₂ и х₃, которыми обозначим неизвестные установленные мощности в группах из однотипных блоков.

Рис. 2.7

Составим ограничения:

1. По условию покрытия дефицита мощности:

.

2. Условие покрытия дефицита энергии:

.

3. Ограничение по топливу (уголь):

.

4. Ограничение по топливу (бурый уголь):

.

5. Ограничение по установленным мощностям:

, .

Целевая функция:

.

Решение модели на ЭВМ дает следующий результат:

, , , , , , .

Появившиеся в решении , , являются фиктивными, вводимыми программой для перехода от неравенств к равенствам при решении по симплекс-методу.

Таким образом, оптимальная структура генерирующих мощностей наКЭС-1: 2×200 + 2×100 и на КЭС-2: 2×100; млн. руб.

На рисунке 2.8 приведена реализация решения по программе SimpleX.

Рис. 2.8

Для решения задач линейного программирования могут использоваться и другие программы. Ниже на рисунке 2.9 приведена реализация решения в пакете MathCAD 2001 Professional. Здесь дополнительно введено ограничение на получение неотрицательных решений, т.е. . Для удобства отображения результата полученный вектор решений транспонируем, чтобы решения были записаны не в столбец, а в строчку ( ).

Рис. 2.9

2.5. Применение динамического программирования для выбора площадок

Как известно, метод динамического программирования ориентирован на оптимизацию многошаговых процессов. Процесс условной оптимизации может развиваться от начала к конечному состоянию и наоборот.

В динамическом программировании рассматриваются:

• состояние системы;

• управление на шаге;

• эффективность на шаге;

• условная оптимальная эффективность , определяющая общий эффект на всех оптимизированных шагах до -го включительно для каждого состояния .

Основное уравнение динамического программирования при оптимизации от конечного состояния к начальному состоянию :

, (2.27)

и от начального к конечному :

. (2.28)

Рассмотрим упрощенный пример выбора плана ввода мощностей для покрытия возрастающего дефицита 400, 500, 600 МВт для трех временных разрезов . Для покрытия могут использоваться три площадки с возможными для ввода блоками 100 МВт.

Все особенности сооружения учтены в стоимости каждой электростанции в зависимости от возможной мощности её и представлены в таблице 2.1.

Таблица 2.1

ЭС	100	200	300	400
1	9	20	32	43
2	9	19	30	40
3	11	18	31	42

Диаграмма процесса условной оптимизации приведена на рисунке 2.10.

Рис. 2.10

В качестве этапов принят процесс ввода мощностей только на одной станции. В качестве состояния примем установленную мощность всех электростанций, которые введены на рассмотренных этапах ; управление – ввод мощности на каждой станции ; эффективность на шаге – стоимость вводимой мощности ; условная оптимальная эффективность – общая стоимость на всех рассмотренных этапах.

Оптимальная траектория процесса ввода мощностей определяется обратным ходом, двигаясь из конечного состояния к началу в соответствии с найденными и запомненными условно-оптимальными управлениями. Результаты оптимизации представлены в таблице 2.2.

Таблица 2.2

	ЭС-1	ЭС-2	ЭС-3	ЗО (затраты общие)
t = 1	100	100	2×100	36
t = 2	100	2×100	2×100	46
t = 3	100	3×100	2×100	57

2.6. Оптимизация в условиях вероятностно-определенной информации

Как было отмечено ранее, в больших системах наряду с детерминированной информацией рассматривается также вероятностно-определенная и неопределенная. Пусть оптимизируемый параметр , подверженный случайному изменению, лежит в диапазоне и для него известен закон распределения. На рисунке 2.11 приведены примеры двух законов распределения.

Равномерное распределение	Нормальное распределение
а)	б)

Рис. 2.11

В природе чаще проявляется нормальное распределение. Для определения вероятности попадания х в любой интервал при этом используется функция Лапласа. Она позволяет определять эту вероятность при любом значении . но для этого случайную величину x заменяют нормированной

.

В диапазоне и определены таблицы Лапласа.

Таблица 2.3

Значения функции Лапласа

t	Ф(t)	t	Ф(t)	T	Ф(t)	t	Ф(t)
0,0	0,0000	1,0	0,3413	2,0	0,4772	3,0	0,4986
0,1	0,0398	1,1	0,3643	2,1	0,4821	3,1	0,4990
0,2	0,0793	1,2	0,3849	2,2	0,4861	3,2	0,4993
0,3	0,1179	1,3	0,4032	2,3	0,4893	3,3	0,4995
0,4	0,1554	1,4	0,4192	2,4	0,4918	3,4	0,4997
0,5	0,1915	1,5	0,4332	2,5	0,4938	3,5	0,4998
0,6	0,2257	1,6	0,4452	2,6	0,4953	3,6	0,49984
0,7	0,2580	1,7	0,4554	2,7	0,4965	3,7	0,49989
0,8	0,2881	1,8	0,4641	2,8	0,4974	3,8	0,49993
0,9	0,3159	1,9	0,4713	2,9	0,4981	3,9	0,49995

Эти таблицы определяют вероятность попадания в интервал от до , который пропорционален площади кривой (рис. 2.12):

. (2.29)

Рис. 2.12

В соответствии с этим интересующая вероятность попадания в интервал от до (рис. 2.13) определяется по выражению:

,

, .

Рис. 2.13

Если в качестве случайного параметра рассматривается прогнозируемое математическое ожидание мощности нагрузочного узла с определенным значением стандартного отклонения при нормальном законе распределения, то весь диапазон изменения нагрузки в пределах можно разбить на дискретные ступени любой ширины, например, равной (рис. 2.14). Для каждой ступени по таблице Лапласа можно определить вероятность р_i попадания случайной мощности в рассматриваемый интервал, принимая для интервала среднее значение мощности.

Рис. 2.14

В этом случае для оценки какого-либо возможного варианта развития системы необходимо рассмотреть все интервалы и для каждого i-го интервала по средней мощности внутри него определить затраты З_i . Общие затраты для варианта оцениваются математическим ожиданием затрат равным

.

При выборе наилучшего варианта развития системы или её объекта для каждого проводятся аналогичные расчеты. Объем вычислений возрастает при учете двух и более параметров режима с поинтервальной оценкой их значений. Поэтому учет вероятностно-определенной информации оправдан при использовании метода сравнения вариантов, в которых лишь несколько параметров задаются вероятностными показателями.

В оптимизационных моделях сложных систем переменные с вероятностно определенной информацией учитываются их математическими ожиданиями.