1.3 Системы Уолша

Среди систем сигналов многие образованы на базе систем Уолша. Системам Уолша и их применению посвящено большое количество работ. Часто для исследования систем Уолша с точки зрения их корреляционных свойств целесообразно использовать матрицы Адамара, которые определяются следующим символическим равенством:

,

где – матрица Адамара порядка , а – матрица Адамара порядка . Полагая , можем получить матрицы для любого , где – целое число.

Матрицы Адамара удовлетворяют следующему условию:

,

где – транспонированная матрица Адамара, – единичная матрица.

Обозначим -ю кодовую последовательность Уолша как , а её -й символ через . Это условие определяет ортогональность системы, т.е.

.

В качестве кодовых последовательностей системы Уолша можно использовать как строки, так и столбцы матрицы Адамара. Число кодовых последовательностей равно порядку матрицы . Следовательно, объем системы Уолша равен . Принято обозначать системы Уолша У8, где цифра определяет объем системы.

Для вычисления символов последовательностей Уолша используется следующая формула:

,

где , – целая часть , – двоичное представление номера последовательности . В формуле , .

Произведение двух последовательностей Уолша дает в результате ещё одну последовательность Уолша:

Система Уолша обладает плохими корреляционными свойствами, так как у большинства последовательностей число блоков (-1, 1) далеко от оптимального. Это подтверждается тем, что большинство АКФ и ВКФ последовательностей Уолша имеют большие боковые пики. Однако на их основе формируют производные системы сигналов, обладающие хорошими корреляционными свойствами.

Известно, что спектры сигналов Уолша сдвинуты друг относительно друга по частоте. Сдвиг можно характеризовать как положением максимума спектральной плотности мощности, так и эффективной шириной спектра. Чем больше блоков , тем больше сдвиг. Спектр кодовой последовательности с имеет максимум при , а спектр кодовой последовательности с имеет максимум при . Оба максимума равны . Соответственно максимум спектральной плотности мощности равен . У остальных последовательностей максимумы спектров лежат между значениями и .

1.4 Коды Велти

Среди множества кодов Велти выделяют два основных типа кодов.

1.4.1 D-коды

Их построение основано на использовании правила присоединения. Обозначим -ю последовательность D-кода порядка как

.

Здесь длина последовательности и её порядок связаны соотношением . Число последовательностей равно числу символов в последовательности, т.е. . Введем последовательность дополнительную для . Последовательности и называются дополнительными, если

,

где

.

Тогда правило образования D-кода с помощью правила присоединения записывается как:

.

Использование правила (1) проиллюстрируем на примерах. В качестве исходных возьмем дополнительные последовательности для . Полагая , согласно (1) будем иметь:

.

Введем обозначения . Используя указанные обозначения получим:

.

При находим:

Для D-кода характерно то, что парные последовательности являются дополнительными. Последовательности, образующие D-код взаимно-ортогональны. Условие ортогональности двух последовательностей и записывается в виде:

для .

АКФ любой последовательности D-кода при четных сдвигах равна нулю, т.е. при . Для нечетных АКФ определяется произведениями символов вида , номера которых подчиняются следующему условию: если – четное, то – нечетное, и наоборот. Если для нечетного выполняется равенство , то .

ВКФ пар дополнительных последовательностей лучше, чем у случайных. Среднеквадратичное значение ВКФ в раз меньше чем у случайных последовательностей и равна .

1.4.2 Е-коды

Если определен D-код, то Е-код определяется через него следующим образом: символ последовательности связывается с символом последовательности соотношением

АКФ каждой последовательности Е-кода при для .

ВКФ пары дополнительных последовательностей Е-кода равна нулю при .

Последовательности D и E –кода получили, в первую очередь, применение в радиолокации. Но в настоящее время их используют и в системах связи. Они могут также найти применение и в качестве исходных систем при построении производных систем сигналов.