3. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения векторов
Назовем углом между двумя ненулевыми векторами в пространстве наименьший из двух углов, определяемых ими.
Определение. Скалярным произведением
двух ненулевых векторов
и
называется число, равное произведению
длин этих векторов на косинус угла
между ними. Обозначение:
или
,
т.е.
где
Если
или
,
то, по определению,
Из определения скалярного произведения следует:
1) скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины:
2) скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны; действительно, если
то
т.е.
и наоборот.
Ортогональная
проекция вектора
на направление вектора
равна скалярному произведению этих
векторов, деленному на модуль вектора
.
Действительно, по определению, проекция
вектора
на направление вектора
есть число, равное длине отрезка
,
взятой со знаком +, если
и со знаком -, если
где
и
- проекции начала А и конца В
вектора
на прямую
.
Пусть
,
,
.
Из АВК
находим:
,
так как при
а при
Умножая обе части
на
получим:
.
Теорема. Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:
1)
2)
3)
Доказательство. 1) Из четности функции косинус следует
Из свойств проекции следует
.
Умножая обе части этого равенства на , получим свойство 2).
Если
т.е.
то углы между
и
,
и
будут совпадать с углом между
и
,
т.е.
Если же
т.е.
то
Имеем:
Теорема. Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их одноименных координат.
Доказательство. Пусть
Из свойств скалярного умножения следует, что при скалярном умножении можно пользоваться правилом умножения многочлена на многочлен. Так как
то
Следствие. Скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов его координат:
В частности, расстояние между двумя точками и определяется формулой:
,
так как
.
Следовательно, расстояние между двумя
точками равно квадратному корню из
суммы квадратов разностей соответствующих
координат.
Пример. Найти (5
+ 3
)(2
-
),
если
10
-
5
+
6
-
3
= 10
,
т.к.
.
Пример. Найти угол между векторами
и
,
если
,
т.е.
.
Имеем
= 6 + 8 – 6 = 8:
Пример. Найти скалярное произведение
(3
- 2
)(5
- 6
),
если
Имеем (3
- 2
)(5
- 6
)=
=15
-
18
-
10
+
12
= 15
+ 1236 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.
Пример. При каком
векторы
и
перпендикулярны.
;
.
4. Векторное произведение двух векторов. Свойства векторного произведения векторов
Определение. Декартова прямоугольная система координат в пространстве называется правой (левой), если поворот от базисного вектора к вектору на наименьший угол виден с конца вектора осуществляющимся против (по) часовой стрелки.
Говорят
также, что тройка базисных векторов
имеет правую (левую) ориентацию.
Определение. Векторным произведением
двух неколлинеарных векторов
и
называется вектор
,
перпендикулярный плоскости векторов
и
,
имеющий длину, равную площади
параллелограмма, построенного на
векторах
и
и направленный так, что тройка векторов
так же ориентирована, как и тройка
базисных векторов
.
Обозначение:
.
Векторное произведение двух коллинеарных векторов и в случае, когда один или оба сомножителя - нуль-векторы, по определению, равно нулю.
Теорема. Векторное произведение обладает следующими свойствами:
2)
3)
где
- произвольные векторы.
Докажем
свойства 1) и 3). При
и при
все части этих тождеств - нулевые векторы,
т.е. тождества справедливы. Пусть
.
Левая и правая части тождеств 1) и 3)
определяют векторы, перпендикулярные
одной и той же плоскости, т.е. коллинеарные
друг другу. Длины этих векторов, как
площади равных или равновеликих
параллелограммов, равны. Эти векторы
одинаково направлены. Действительно,
поворот от вектора
к вектору
противоположен повороту от
к
,
а знак минус в тождестве 1) меняет
направление вектора на противоположное.
При
направления всех векторных произведений
в тождестве 3) одинаковы, а при
направление каждого векторного
произведения этого тождества меняется
на противоположное.
Пусть
- угол между неколлинеарными векторами
и
.
Тогда
Теорема. Векторное произведение двух векторов
(4.1)
определяется формулой:
Доказательство. Из определения и свойств векторного произведения непосредственно следует, что правые части формул (4.1) можно перемножать как многочлен на многочлен, но, в отличие от скалярного произведения, со строгим соблюдением порядка следования множителей. Кроме того,
Получаем:
.
Правую часть этого равенства можно записать в виде определителя третьего порядка, в первой строке которого - базисные векторы во второй - координаты первого вектора, в третьей - второго.
Следствие. Площадь треугольника
с вершинами
равна половине модуля векторного
произведения
,
т.е.
.
Векторное
произведение является внутренней
операцией умножения на множестве
векторов в пространстве. Эта операция
антикоммутативна. Оказывается, что для
векторного умножения не выполняется
также закон ассоциативности, так как
т.е.
Пример. Найти векторное произведение векторов
и
.
Имеем
;
;
.
Пример. Вычислить площадь треугольника
с вершинами
(ед2).
Пример. Доказать, что векторы
,
и
компланарны. Имеем:
.
Векторы линейно зависимы, следовательно,
они компланарны.
Пример. Найти площадь параллелограмма,
построенного на векторах
,
если
(ед2).