4. Точки разрыва функции и их классификация
Рассмотрим некоторую функцию , непрерывную в окрестности точки , за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что является точкой разрыва, если функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.
Заметим, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.
Если
односторонний предел функции
в точке
при
справа существует и равен значению
функции в этой точке, то функция называется
непрерывной справа в точке
.
Обозначение:
.
Если
односторонний предел функции
в точке
при
слева существует и равен значению
функции в этой точке, то функция называется
непрерывной слева в точке
.
Обозначение:
..
Определение. Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если в этой точке функция имеет конечные, равные друг другу левый и правый пределы, не равные значению функции в точке :
.
При этом в
самой точке
функция
может быть и не определена. Если
доопрпеделить значение функции
в точке
положив его равным
,
то функция
будет непрерывной в точке
Определение. Точка называется точкой разрыва 1- го рода функции , если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы:
.
Определение. Точка называется точкой разрыва 2 – го рода функции , если один из односторонних пределов функции в этой точке либо не существует либо равен бесконечности.
Пример. Функция Дирихле
не является непрерывной в любой точке .
Пример. Функция
имеет в точке
точку разрыва 2 – го рода, т.к.
.
Пример.
.
Функция не
определена в точке
,
но имеет в ней конечный предел
,
т.е. точка
является точкой устранимого разрыва
функции
.
Если доопределить функцию в точке
:
то функция будет непрерывной на всей числовой оси. График этой функции:
Пример.
=
.
y
1
0 x
-1
Эта функция
обозначается как
–
знак числа
.
В точке
функция не определена. Так как левый и
правый пределы функции различны, то
-и
точка разрыва 1 – го рода. Если доопределить
функцию в точке
,
положив
,
то функция будет непрерывна справа,
если положить
,
то функция будет непрерывной слева,
если положить
равное произвольному числу, отличному
от 1 или –1, то функция не будет непрерывна
ни слева, ни справа. В этом случае будет
иметь в точке
разрыв 1 – го рода. В этом примере точка
разрыва 1 – го рода не является устранимой.
Определение. Функция называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в каждой точке интервала (отрезка).
При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала.
5. Свойства функций, непрерывных на отрезке
Свойство 1: (Первая теорема
Вейерштрасса). Функция
,
непрерывная на отрезке
,
является ограниченной на этом отрезке,
т.е. сущестует такое положительное
число
,
что для всех
,
выполняется неравенство
Свойство 2: (Вторая теорема
Вейерштрасса). Функция
,
непрерывная на отрезке
,
достигает на нем свои наибольшее и
наименьшее значения, т.е. существуют
такие точки
и
,
принадлежащие отрезку
что
,
,
и для всех
выполниется неравенство:
Отметим эти наибольшие и наименьшие
значения функция может принимать на
отрезке и несколько раз (например,
функция
).
Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке.
Свойство 3: (Теорема Больцано –
Коши). Функция
,
непрерывная на отрезке
,
принимает на этом отрезке все свои
промежуточные значения, т.е. для любого
числа
,
существует точка
,
такая, что
.
Свойство 4: Если функция непрерывна в точке , то существует некоторая окрестность точки , в которой функция сохраняет определённы знак.
Свойство 5: (Вторая теорема Больцано
– Коши). Если функция
-
непрерывная на отрезке
и принимает на концах этого отрезка
значения противоположных знаков, то
существует такая точка
внутри этого отрезка, что
.
Определение. Функция
называется равномерно непрерывной
на отрезке
,
если для любого
существует
такое, что для любых точек
и
таких, что
выполняется неравенство
.
Отличие
равномерной непрерывности от “обычной”
в том, что для любого
существует свое
,
не зависящее от
,
а при “обычной” непрерывности
зависит от
и
.
Свойство 6: (Теорема Кантора). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.
Пример.
.
Функция
непрерывна на интервале
,
но не является на нем равномерно
непрерывной, т.к. существует такое число
такое, что существуют значения
и
такие, что
,
- любое число при условии, что
и
близки к нулю.
Свойство 7: Если функция
определена, монотонна и непрерывна на
некотором промежутке, то и обратная ей
функция
тоже однозначна, монотонна и непрерывна.
Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.
Имеем
В точке
функция непрерывна; в точке
имеет разрыв 1 – го рода.
Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.
Имеем
В точке функция непрерывна; в точке имеет разрыв 1 – го рода.
у
2
1
- -/2 0 1 x