Непрерывность функции нескольких переменных
Пусть дана
функция
с областью определения
и пусть
– предельная точка множества
.
Определение. Говорят, что функция непрерывна в точке , если
;
,
т.е.
.
Сформулируем определение непрерывности
в эквивалентной форме. С этой целью
обозначим
,
и
.
Определение. Говорят, что функция непрерывна в точке , если выполняется равенство
.
Теорема.
Если функции
и
непрерывны в точке
,
то в этой точке непрерывны и функции
,
,
а если
,
то и функция
.
Определение.
Функция
,
определённая на некотором множестве
называется непрерывной на множестве
если она непрерывной в каждой точке
множества
.
Определение. Множество называется областью, если оно:
1) является
открытым множеством, т.е. содержит каждую
свою точку вместе с некоторой своей
-окрестностью;
2) является линейно связным множеством,
т.е. для любых двух различных точек
существует ломаная, соединяющая
и
и целиком лежащая в
.
Если
– область, то множество
называют замкнутой областью.
Определение.
Говорят, что функция
непрерывна в области
(или в замкнутой области
),
если
непрерывна в каждой точке этой области.
4. Непрерывность функции нескольких переменных по отдельным переменным
Зафиксируем
переменную
,
а переменной
придадим произвольное приращение
.
Функция
получит приращение:
,
которое
называется частным приращением
функции в точке
,
соответствующим приращению
аргумента
.
Заметим, что
является функцией одной переменной
.
Аналогично,
.
Определение. Функция называется непрерывной в точке по переменной (по переменной ), если
.
В отличие от непрерывности по отдельным переменным обычную непрерывность функции называют иногда непрерывностью по совокупности переменных.
Теорема. Если функция определена в некоторой окрестности точки и непрерывна в этой точке, то она непрерывна в этой точке по каждой из переменных.
Обратное утверждение вообще говоря неверно.
Пример. Докажем, что функция
непрерывна
в точке
по каждой переменной
и
,
но не является непрерывной в этой точке
по совокупности переменных.
Рассмотрим частное приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента :
.
Очевидно, что
,
а это означает, что
непрерывна в точке
по переменной
.
Аналогично доказывается, что функция непрерывна в точке по переменной .
Покажем, что
предел
не существует. Пусть точка
стремиться к точке
по прямой
,
проходящей через точку
.
Тогда получим
.
Таким образом, приближаясь к точке по различным прямым, соответствующим разным значениям , получаем разные предельные значения. Отсюда следует, что предел данной функции в точке не существует, а значит, функция не является непрерывной в этой точке.
6.2 Частные производные и дифференциал функции нескольких переменных
1. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных
Определение. Пусть в некоторой
области
задана функция
.
Возьмем произвольную точку
из этой области и дадим переменной х
приращение
.
Величина
называется частным приращением функции
по х.
Рассмотрим отношение:
.
Если существует конечный предел
,
то он называется частной производной
функции
по х.
Обозначение:
Аналогично определяется
частная производная функции
по у:
.
Геометрическим смыслом частной
производной (например,
)
является тангенс угла наклона касательной,
проведенной в точке
к сечению поверхности плоскостью
.