8.2 Дифференциальные уравнения первого порядка
1. Дифференциальные уравнения первого порядка
Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее неизвестную функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. уравнение вида:
Если это уравнение преобразовать к виду , то полученное дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением, разрешенным относительно производной. Преобразуем это выражение далее:
Функцию
представим в виде:
Тогда при подстановке в полученное выше
уравнение получим:
.
Левая часть этого выражения называется дифференциальной формой уравнения первого порядка.
2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Определение. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде:
или в виде:
Перейдем к
новым обозначениям
Получим:
После нахождения соответствующих интегралов получаем общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
Если заданы начальные условия, то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С, и соответственно частное решение.
Пример. Найти общее решение
дифференциального уравнения:
.
Имеем
;
;
.
Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям:
;
;
.
Получаем общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения.
Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х.
;
- верно.
Пример. Найти решение дифференциального
уравнения
при условии
.
Имеем
;
;
;
;
.
При
получаем
Таким образом:
или
- частное решение.
Проверка:
.
Следовательно,
- что верно.
Пример. Решить уравнение
Имеем
;
;
;
.
Получаем:
-
общий интеграл и
- общее решение.
Пример. Решить уравнение
Имеем
Пример. Решить уравнение
при
условии
.
Имеем
;
Интеграл, стоящий в левой части берётся по частям:
.
Если
,
то
Итого, частный интеграл:
.
Пример. Решить уравнение
.
Имеем
;
;
;
;
Получаем общий интеграл:
.
Пример. Решить уравнение
.
Преобразуем заданное уравнение:
;
;
;
.
Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из этого соотношения выразить искомую функцию у, то получим общее решение.
Пример. Решить уравнение
.
Имеем
;
;
;
;
Допустим,
заданы некоторые начальные условия
и
.
Тогда:
Получаем
частное решение
3. Однородные дифференциальные уравнения
Определение. Функция называется однородной функцией n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:
Пример. Является ли однородной
функция
Решение.
.
Таким образом, функция является однородной функцией 3- го порядка.
Определение. Дифференциальное уравнение вида называется однородным, если его правая часть есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.
Любое уравнение
вида
является однородным, если функции
и
– однородные функции одинакового
измерения.
Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными.
Рассмотрим
однородное уравнение
Так как функция – однородная нулевого измерения, то
В силу
произвольности параметра
,
положим
.
Получаем:
.
Правая
часть полученного равенства зависит
фактически только от одного аргумента
,
т.е.
Таким образом, исходное дифференциальное уравнение можно записать в виде:
.
Сделаем
замену:
,
.
Находим
Таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u:
Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.
Пример. Решить уравнение
.
Введем вспомогательную функцию u.
.
Отметим, что введенная нами функция u
всегда положительна, т.к. в противном
случае теряет смысл исходное
дифференциальное уравнение, содержащее
.
Подставляя в исходное уравнение, получим:
Разделяя
переменные, находим:
Интегрируя,
получаем:
Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:
