7. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Пусть х – произвольное действительное число.

Определение. Функцией распределения непрерывной случайной величины называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, меньшее х.

Функцию распределения также называют интегральной функцией. Она полностью характеризует случайную величину и является одной из форм закона распределения.

Свойства функции распределения

1) значения функции распределения принадлежат отрезку :

.

2) – неубывающая функция:

при .

3) Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале , равна приращению функции распределения на этом интервале:

.

4) На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности функция распределения равна единице:

5) Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, равна нулю.

Таким образом, не имеет смысла говорить о каком – либо конкретном значении случайной величины. Интерес представляет только вероятность попадания случайной величины в какой – либо интервал, что соответствует большинству практических задач.

Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называется функция – первая производная от её функции распределения :

Плотность распределения также называют дифференциальной функцией.

Смысл плотности распределения состоит в том, что она показывает как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов.

Определение. Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна на всей оси , а плотность распределения существует везде, за исключением может быть, конечного числа точек.

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что некоторая случайная величина Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу , равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b:

.

Доказательство этой теоремы основано на определении плотности распределения и третьем свойстве функции распределения, записанном выше.

Геометрически это означает, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, кривой распределения и прямыми и .

Функция распределения может быть легко найдена, если известна плотность распределения, по формуле:

Свойства плотности распределения.

1) Плотность распределения является неотрицательной функцией:

.

2) Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от до  равен единице:

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку , называется определенный интеграл:

.

Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:

.

При этом, конечно предполагается, что несобственный интеграл сходится.

Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины, возможные значения которой принадлежат отрезку , называется математическое ожидание квадрата ее отклонения:

.

Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то дисперсия находится по формуле:

.

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется соответственно формула:

; .

Определение. Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии:

.

Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин:

.

Определение. Модой дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум:

Если многоугольник распределения для дискретной случайной величины или кривая распределения для непрерывной случайной величины имеет два или несколько максимумов, то такое распределение называется двухмодальным или многомодальным.

Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется антимодальным.

Определение. Медианой случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины:

.

Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам.

Отметим, что если распределение одномодальное, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием.

Определение. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины :

Для дискретной случайной величины: .

Для непрерывной случайной величины: .

Начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию.

Определение. Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины

.

Для дискретной случайной величины: .

Для непрерывной случайной величины: .

Центральный момент первого порядка всегда равен нулю, а центральный момент второго порядка равен дисперсии. Центральный момент третьего порядка характеризует асимметрию распределения.

Определение. Отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в третьей степени называется коэффициентом асимметрии:

.

Определение. Для характеристики островершинности и плосковершинности распределения используется величина, называемая эксцессом:

.

Кроме рассмотренных величин используются также так называемые абсолютные моменты.

Абсолютный начальный момент: .

Абсолютный центральный момент: .

Абсолютный центральный момент первого порядка называется средним арифметическим отклонением.

Пример. Непрерывная случайная величина задана функцией плотности распределения :

Найти коэффициент , найти функцию распределения, построить графики функции распределения и плотности распределения, определить вероятность того, что случайная величина х попадет в интервал . Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Для нахождения коэффициента а воспользуемся свойством . Имеем:

Найдем функцию распределения:

1) На участке :

2) На участке

3) На участке

Таким образом:

Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал .

Ту же вероятность можно найти другим способом: