Серпімді кернеу.

1.Деформацияланған дененің түрлі бір-бірімен шекаралас бөліктері өзара әсерлеседі. Қандай да бір деформацияланған денені немесе ортаны қарастырайық. Денені ойша 2 бөлікке бөлейік:АВ жазықтығында шектесетін дене І және дене ІІ .Дене І деформацияланатындықтан ол белгілі күшпен дене ІІ –ге әсер етеді .Тура осындай себептен дене ІІ –де сондай ,бірақ қарама-қарсы күшпен дене І-ге әсер етеді . Бірақ пайда болатын деформация- ны АВ қимасына әсер ететін күштердің қосындысын білу жеткіліксіз.Сонымен қатар бұл күштер осы қимада қалай таралатыны көрсетілуі тиіс. АВ жазықтығынан шексіз кіші dS ауданын бөліп алайық. dF-дене ІІ дене І –ге осы ауданда әсер ететін күш болсын. Бірлік ауданға тура елетін күш ,яғни кернеу деп аталады. Бұл жағдайда АВжазықтығының деғне І-дің шегарасында әсер ететін кернеу деп аталады. Осы нүктеде дене ІІ шегарасында әсер ететін кернеу тура осындай, бірақ бағыты қарама –қарсы болады.

197-сурет

2.dS ауданының бағытын оған нормаль жүргізу арқылы таңдауға болады.Нормальді dF күші әсер ететін дене жазықтығының сыртына қарай жүргіземіз. Нормальдің бірлік векторын n, ал сәйкес кернеуді деп белгілейміз . 1-ші сурет бойынша =

-декарт координатасында

— кернеулік тензоры

—нормальдық элементтер, қалғандары жанама элементтер.

-симетриялық тензор

Сонда дене І-мен шекаралас дене ІІ-нің АВ жазықтығындағы кернеу болады. Әсер менн қарсы әсер тең болғандықтан =

векторын n нормаль борйымен және dS ауданына жанма бойында жататын құраушыларға жіктеуге болады. Оның біріншісі нормаль, ал екіншісі – тангенциал құраушы деп аталады. Кез келген вектор сияқты кернеуін Х,У,Z координаттар системасының осьтері бойынша сипаттауға болады. Бұл құраушыларды сәйкесінше болады.Бірінші индекс дене бетінің сыртқы нормальдің бағытын, ал екіншісі - векторы проекцияланатын осьтің бағытын көрсетеді. Сәйкесінше сыртқы нормалі х осінің бағытына аудандағы параллель бағытты көрсетеді .

3. Кернеудің опртаның бір нүктесіндегі бағытын анықтау үшін осы нүкте арқылы өтетін өзара перпендикуляр аудандағы бағыттарды анықтасақ болғаны. Бұл тыныштықта тұрған ортаға да, белгілі үдеумен қозғалып бара жатқан ортаға орындалады. Мұны дәлелдеу үшін қарастырылып отырған нүктеге координаттар басын орналастырамыз және одан шексіз кіші ОАВС көлемді координаттар жазықтықтарымен шектесетін және АВС жазықтығымен қиылып өтетін элемент бөліп алайық.

2-ші сурет бойынша тұтас дененің формасы көрсетілген .Оның төрт беті бар. Егер АВС бетіне -кернеу әсер етсе онда бұл тұтас көлемнің қозғалысы мынадай

f+ -

f-тұтас ортаға әсар етуші массалық күш.

Массалық күш (ауырлық) тағы басқа концервативті күштер болуы мүмкін.

-АВС бетіне нормаль бағытымен бағыттас.

а=0

f=0

=0

n-АВС -ның жазықтығына жүргізілген сыртқы жанамасы. Сонда АСВ бетіндегі бөліп алынған элементі сыртқы ортадан әсер ететін күші болады, мұндағы S беттің ауданы. Сәйкесінше үш бүйір бетке әсер ететін күштер

198-сурет.

болады. Мұндағы осы беттердің ауданы. Бұл күштерден басқа осы бөліп алынған элементке массалық немесе көлемдік күштер әсер етуі мүмкін.Мысалы, ауырлық күші. Барлық әсер етуші күштердің қорытқы күшін деп белгілейік.

күші бөліп алынған элементтің көлеміне пропорционал. Егер элемент массасы m ал үдеуі болса, онда

Бұл жерде түрлендірулер жүргізейік, OABC элементін нүктеге дейін кішірейтейік. Мұндай жағдайда өрнектің және f мүшелерін алып тастауға болады. Олар OABC элементінің көлеміне пропорционал. Өрнектің басқа мүшелерімен салыстырғанды олар жоғары дәрежеде шексіз кіші болады. S ауданның координата жазықтығына проекциясы былай анықталады:

Сонымен қатар болатындығын ескереміз. Сонда нәтижесінде мынаны аламыз:

X,Y,Z өз қалауымыз бойынша таңдауымызға болатындықтан теорема дәлелденді.

Осылайша серпімді деформацияланған дененің кернеуін векторлары арқылы немесе олардың тоғыз проекциялары түсіндіруге болады:

Осы тоғыз шаманың жиынтығы серпімді кернеудің тензоры деп аталады. Бұл шамалар ортаның бір нүктеден екінші нүктесіне өткенде өзгереді, яғни координаттар функциясы болып табылады. Егер массалық күш әсер етпейтін болса ғана кернеу ортаның барлық нүктелерінде бірдей болады.

4. Серпімді кернеудің тензоры симметриялық тензор болып табылады, яғни

Мұны дәлелдеу үшін заттан қабарғалары элементар параллелепипедті бөліп алайық. Параллелепипеке әсер ететін өсіне қатысты күш моменті мынаған тең:

3-ші сурет бойынша z осіне байланысты параллелепипедтің айналу моменті тензорлардың жанама элементтеріне тікелей байланысты .

теңдіктің оң жағындағы шама теңдіктің сол жағындағы шамадан тез нольге айналады.Осы теңдіктен біз керну тензорының симметрия болатынына көзіміз жетеді.

Мұндағы және өсіне қатысты инерция моменті және бұрыштық жылдамдық. Бірақ инерция моменті масса мен параллелепипедтің сызықтық өлшемдерінің квадратына көбейтіндісіне пропорционал болады, яғни параллелепипед көлемімен салыстырғанда жоғары дәрежедегі шексіз кіші шама болады. Егер параллелепипедті нүктеге дейін кішірейтсек, онда теңдіктің оң бөлігі сол бөлігіне қарағанда ертерек нольге айналады. Нәтижесінде аламыз. Сәйкесінше және болады.

5.X,Y,Z координаттар системасын серпімді кернеудің тензорының барлық диагональ емес элементтері нольге тең болатындай етіп таңдап алуға болады, яғни егер мұны дәлелдеу қажат емес, себебі серпімді кернеудің тензоры симметриялы болады. Осылайша осы нүктедегі серпімді кернеу үш шамамен сипатталады. Оларды деп белгілеуге де болады. Оларға сәйкес келетін координата осьтері тензордың бас осьтері деп аталады.

Лекция №3

Стерженнің созылуы мен сығылуы.

Біртекті стержен алып оның табандарына созушы және сығушы Ғ күштерін түсірейік. Стержен деформацияланады, яғни созылады немесе сығылады. Ойша белгілі бір стержен осьіне перпендикуляр С осін жүргізейік. АС стерженнің тепе- теңдігі үшін оның төменгі С табанына Ғ=F күші әсер етуі керек. Бұл күш стерженінің жоғары стержанді тарту немесе оны сығу күшіне тең. Бұл күштің пайда болу себебі оның төменгі бөлігінің деформацияланғандығы. Стерженнің жоғарғы бөлігі де деформацияланған және төменгісіне осындай, бірақ қарама- қарсы бағытталғын күші әсер етеді. Мұндай күштер созылған немесе сығылған стерженнің кез келген көлденең қимасына әсер етеді. Осылайша, стерженнің деформациялануы серпімді күштердің пайда болуына және стерженнің әрбір шекаралас бөлігі бір – біріне сол күшпен әсер етуіне байланысты. Стерженнің көлденең қимасының бірлік ауданына тура келетін күш шамасын кернеу деп атаймыз. Қарастырылып отырған жағдайдакернеу стерженнің көлденең қимасына перпендикуляр. Егер стержен созылған болса, онда кернеу созылған кернеу деп аталады және мына өрнекпен анықталады:

Мұндағы S-Стерженнің көлденең қимасының ауданы. Егер стержен сығылған болса, онда кернеу қысым деп аталады және мына өрнек арқылы анықталады:

Қысымды теріс таңбамен алынған созылу кернеуі деп қарастыруға болады және керәсінше яғни

Бұл бізге созылу мен сығылуды жеке-жеке қарастыру қажеттілігін туғызбайды.

2. -деформацияланбаған стерженнің ұзындығы болсын. F күші түсірілген соң оның ұзындығы өзгеріске ұшырайды және тең болады

қатынасы салыстырмалы ұзару деп аталады. Созушы күштер әсер еткенде ол оң болады, ал сығушы күтер әсер етсе, ол теріс болады. Теріс таңбамен алынған салытырмалы ұзару салыстырмалы сығылу деп аталады. Осылайша анықтама бойынша салытырмалы сығылу - тең. Ол оң болады егер сығылу күштер әсер етсе, теріс, созушы күштер әсер етсе.

Тәжірибе көрсеткендей үлкен емес серпімді деформациялар үшін созушы кернеу салыстырмалы ұзаруға пропорционал:

Мұндағы Е стерженнің материалына және физикалық күйіне тәуелді тұрақты. Ол Юнг модулі (1773-1829) деп аталады. теңдеу стерженнің созылу және сығылу деформациялары үшін Гук заңын көрсетеді. Бұл шамалап келтірілген заң. Ол үлкен деформациялар үшін орындалмауы мүмкін. Гук заңы орындалатын деформациялар кіші деформациялар деп аталады. Егер теңдеуіне қойсақ, онда болады. Сондықтан Юнг модулін көбіне стержен екі есе ұзаратындай етіп күш түсіру арқылы анықтайды. Бірақ бұл жағдайда Гук заңы орындалмай қалады. Бұл заңның кемшілігі барлық үлкен деформациялар үшін Гук заңы орындалмай қалуында: дене не сынады, не деформация мен түсірілген күштің арасындағы пропорционалдық бұзылады.

Т-кернеу,Е-Юнг модулі, -салыстырмалы ұзару,Р-қысым күші

Р=-Т

Р=-Е

Т=-Е -Гук заңы

стержннің созылуы

Юнг модулі әр түрлі заттар үшін шамасы әр түрлі болады .Кейбір жағдайларда Юнг модулін анықтау үшін стержнді бастапқы ұзаруынан 2 есе ұзарту керек.

3.Гук заңына қарағанда көбірек жалпыланған заң бқұл кепілді деформация кезінде созушы кернеу Т салыстырмалы ұзарудың функция болады деген заң, яғни Т=T

Бұл функция нольге теңесуі тиіс ,егер болса, себебі деформация жоқ кезде ,созушы кернеу де жоқ болады.

Т=Е бұл формула дұрыс емес. Бұл жағдайда Гук заңы орындалмайды.

Кейбір жағдайларда салыстырмалы ұзындықты анықтау үшін

және формулаларынан қайсысы тиімді екенін білу үшін екеуінің айырымын табу керек .

Егер

Сонда екі формуланы да пайдалануға болады. Жалпы алғанда механикалық кернеу салыстырмалы деформацияның функциясы болады . Ол функцияның түрі іспеттес

Егер бірінен соң бір кернеу стержнге әсер ететін болса,

яғни бұл жағдайда суперпозиция принципін пайдалануға болады.

Бұл келтірілген анықтама тек созылу мен сығылу деформациясына ғана емес, сонымен қатар барлық кіші деформациялар үшін орындалады .Егер деформациялар кіші болса, онда денелердің серпімді тұрақтылары өзгермейді .Бұл жерден егер денеге бірнеше күш әсер етсе, онда қорытқы деформацияны есептеу үшін орындалады. Егер деформациялар кіші болса ,онда қорытқы деформацияны еесптемеу үшін алдымен әрбір күштің әсерінен пайда болған денформацияларды (басқа күштер болмады деп есептеп) есептеп алып ,оларды қоссақ болғаны. Бұл кіші деформацияларды суперпозиция принфципі деп атайды.

5. Денені деформациялау үшін денеге қатысты жұмыс жасау керек. Сонымен ірге деформацияланған дененің өзі жұмыс жасацйды. Оның потенциалдық энергиясы артық болады. Бұл энергия серпімді энергия деп аталады. Бұл энергия денені деформациялағанда жасаған жұмысқа тең, сонымен бірге бұл жұмыс толығымен дененің кинетикалық эгерг.иясын арттыруға емес, тек серпімді энергияны арттыруға тиіс .Кинетикалық энергияның пайда болмауы үшін деформацияны өте баяу жүргізуі тиіс. Сыртқы күштерде дене әрқашан тепе-теңдік жағдайында болатындай етіп біркелкі өсіру керек.Басқа сөзбен айтқанда ,деформация кезінде сыртқы күштер әрқашан пайда болып отыратын ішкі кернеу күштерімен теңесіп отыру керек. Егер осы шарт орындалса,онда квазистатикалық процес жүріп жатыр деп есептеуге болады.

Мұны көрсету үшін деформацияланған дененің моделі бола алатын спиральді серіппені алайық. Оны жоғары жағынан бекітіп қоялық. Төменгі жағына жіп ілге,нде серіппе созылып кетпес үшін қолымызбен ұстап тұрамыз. Егер жүкті бірден жіберсек тербелістер пайда болады .Жүк салмағының жасаған жұмысы тек серіппені созуға ғана емес, серіппе және жүктің кинетикаклық энергиясын арттыруға да жұмсалады.Бұл квазистатикалық процесс емес .Серіппенің серпімді энергиясын есептеу үшін мұндай процес жарамайды. Енді серіппенің төменгі жағына өте жеңіл чашка ілейік және оны өте баяу толығырақ толтырып отырайық. Тербеліс пайда болмайды,серіппе баяу және үздіксіз салмақ артқан сайын созылады. Ауыцрлық күшінің жалпы жұмысы деформациаланған серіппенің потенциалдық энергиясын артыруға жұмсалады. Бұл процесс квазистатикалық және оны серіппенің серпімді энергиясын есептеуге қолдануға болады.

6. Бұл ескертулерден кейін созылған стерженнің серпімді энергиясын есептеу қиын емес. Стерженге созушы f күшін түсірейік және оны бастапқы f=0 мәнінен соңғы f=F мәніне дейін жоғарылатайық. Бұл кезде стерженнің созылуы Х=0 мәнінен мәніне дейін өзгереді.

Гуке заңы бойынша , мұндағы К- Юнг модулі арқылы оңай өрнектеуге болатын қатаңдық коэффициенті. Қарастырылып отырған процессте барлық жұмыс энергияны серпімді арттыруға жұмсалады. Сондықтан

Егер соңында болса, онда Осыны ескере отырып, мынаны алмыз

Егер деформацияланған стерженге бірден тұрақты Ғ күшін түсіргенде, онда ұзаруға екі есе көп А=f жұмысы жасалған болар еді. Серпімді потенциялды энергияның қалдығы тура сол болғандықтан А жұмысының жартысы ғана серпімді энергияны арттыруға жұмсалатыны түсінікті. Бұл жұмыстың екінші жартысы стерженге квазистатикалық емес әсер ету кезінде пайда болатын тербелістермен толқындардың кинетикалық энергиясын арттыруға жұмсалады. Міне сондықтан

теңдіктерінің алдына ½ коэффициенті пайда болды.

Серпімді энергияның көлемдік тығыздығын табайық, яғни созылған (немесе сығылған) стерженнің бірлік көлеміне сәйкес келетін энергияны есептейік . Ол

теңдігін V=Sl көлемге бөлу арқылы табылады. Онда мынаны аламыз:

Егер Гук заңын қолдансақ, онда бұл формуланы мына түрде жазу қиын емес :

Серпімділік энергиясын анықтау үшін әсер етуші күшті интегралдау керек .

Көлемге келетін бірлік энергияны оның тығыздығы деп атаймыз.Ол мына формула бойынша есептелінеді .

7. Тәжірибе көрсеткендей ,созушы немесе сығушы Ғ күшінің әсерінен стержень тек ұзынынан ғана емес, көлденеңіненде өзгереді. Егер Ғ- созушы күш болса ,онда көлденең өлшемдер кішірейеді. Егер сығушы күш әсер етсе, онда үлкейеді. Егер - стержньнің деформацияға дейінгі қалыңдығы,

-деформациядан кейінгі стержень қалыңдығы. Дөңгелек стержень үшін қалыңдық деп оның диаметрін, тікбұрышты стержень үшін –оның тікбұрышты табанының бір қабырғасын алуға болады және т.с.с.

Серпінділік қасиетін көрсететін тұрақты шамалардың бірі Пуассон коэффициенті.

стерженнің салыстырмалы көлденең сығылуы деп аталады.

--кішірейген көлденең қима.

-бастапқы көлденең қима

Салыстырмалы көлденең сығылудың сәйкес салыстырмалы ұзаруға қатынасы Пуассон коэффициенті деп аталады. Бұл атау француз ғалымы Симеон Пуассон (1781-1840) есімімен алынған.

Пуассон коэффициенті дененің тек материалына тәуелді және оның серпімділік қасиеттерін сипаттайтын ең негізгі тұрақтылардың бірі. Сығушы күштерді ерекше қарастырмаймыз, себебі сығушы күшті қарама –қарсы таңбамен алынған созушы күш деп алуға болады.

Юнг модулі Е және Пуассон коэффициенті изотропты материалдың серпімді қасиеттерін толығымен сипаттайды. Басқа серпімді тұрақтыларды Е және арқылы өрнектеуге болады.

8. Соңында, басқа барлық біз қарастырған және қарастыратын серпімділік модульдері мен коэффициенттері негізінде изотермиялық модульдер және коэффициенттер деп аталуы тиіс .Олар температурасы тұрақты жағдайдағы деформацияны сипаттайды.Бұл статикалық деформация кезінде орындалады. Бірақ егер деформациялар динамикалық (мысалы,серпімді ортадағы толқындар) болса, онда олардың тез болғандығы соншалық деформация кезінде пайда болған температуралар айырмасы жылу алмасу нәтижесінде теңесіп үлгермейді. Егер ортаның әртүрлі қызған бөліктері арасында жылу алмасу болмағанда ерекше жағдай орын алады . Бұл процесске сәйкес келетін серпімділік модульдері мен коэффициенттері адиабаталық деп аталады.

Лекция №4