1.3. Базис и ранг системы векторов

Часть системы векторов называется базисом этой системы, если:

1. эта часть является линейно независимой системой векторов;

2. каждый вектор системы разлагается по векторам этой части.

Диагональная система векторов является базисом каждой системы, которая содержит ее в качестве части.

Если система уравнений

a₁ x₁ + a₂ x₂ + … + a_n x_n = Θ

является разрешенной, то векторы-коэффициенты при неизвестных, составляющих набор разрешенных неизвестных, образуют диагональную часть системы векторов a₁, a₂, … , a_n.

Векторы системы разлагаются по базису этой системы е д и н с т в е н н ы м образом.

Каждую линейно независимую часть системы векторов можно дополнить до базиса этой системы.

Все базисы данной системы состоят из одного и того же числа векторов.

Рангом системы векторов называется число векторов в любом ее базисе. Если ранг системы векторов равен r, то каждая линейно независимая часть этой системы, состоящая из r векторов, является ее базисом. Системы векторов называются эквивалентными, если векторы одной системы разлагаются по векторам другой системы и наоборот. Ранги эквивалентных систем равны.

Вектор b тогда и только тогда разлагается по системе векторов a₁, a₂, … , a_m, когда ранги систем a₁, a₂, … , a_m и a₁, a₂, … , a_m, b равны.

Построение базиса системы векторов a₁, a₂, … , a_n и разложений векторов по базису:

1. Рассмотреть систему уравнений a₁ x₁ + a₂ x₂ + … + a_n x_n = Θ и найти равносильную ей разрешенную систему уравнений

a´₁ x₁ + a´₂ x₂ + … + a´_n x_n = Θ.

2. Найти диагональную часть системы векторов a´₁, a´₂, … , a´_n .

3. Отметить векторы системы a₁, a₂, … , a_n, соответствующие диагональной части системы a´₁, a´₂, … , a´_n ; они образуют базис системы a₁, a₂, … , a_n.

4. Разложить вектор a´_j по диагональной части системы a´₁, a´₂, … , a´_n ; вектор a_j , 1 ≤ j ≤ n, разлагается по базису, найденному в пункте 3, с коэффициентами разложения a´_j по диагональной части системы a´₁, a´₂, … , a´_n .

Пример.

Найти базис системы векторов и векторы, не входящие в базис, разложить по базису:

а₁= {5, 2, -3, 1}, а₂= {4, 1, -2, 3}, а₃= {1, 1, -1, -2}, а₄= {3, 4, -1, 2}, а₅= {13, 8, -7, 4}.

Р е ш е н и е. Рассмотрим однородную систему линейных уравнений

а₁х₁ + а₂х₂ + а₃х₃ + а₄х₄ + а₅х₅ = 0

или в развернутом виде .

Будем решать эту систему методом Гаусса, не меняя местами строки и столбцы, и, кроме того, выбирая главный элемент не в верхнем левом углу, а по всей строке. Задача состоит в том, чтобы выделить диагональную часть преобразованной системы векторов.

~ ~

~ ~ ~ .

Разрешенная система векторов, равносильная исходной, имеет вид

а₁¹х₁ + а₂¹х₂ + а₃¹х₃ + а₄¹х₄ + а₅¹х₅ = 0,

где а₁¹ = , а₂¹ = , а₃¹ = , а₄¹ = , а₅¹ = . (1)

Векторы а₁¹, а₃¹, а₄¹ образуют диагональную систему. Следовательно, векторы а₁, а₃, а₄ образуют базис системы векторов а₁, а₂, а₃, а₄, а₅ .

Разложим теперь векторы а₂ и а₅ по базису а₁, а₃, а₄ . Для этого сначала разложим соответствующие векторы а₂¹ и а₅¹ по диагональной системе а₁¹, а₃¹, а₄¹, имея в виду, что коэффициентами разложения вектора по диагональной системе являются его координаты x_i .

Из (1) имеем:

а₂¹ = а₃¹ · (-1) + а₄¹ · 0 + а₁¹ ·1 => а₂¹ = а₁¹ – а₃¹ .

а₅¹ = а₃¹ · 0 + а₄¹ · 1 + а₁¹ ·2 => а₅¹ = 2а₁¹ + а₄¹ .

Векторы а₂ и а₅ разлагаются по базису а₁, а₃, а₄ с теми же коэффициентами, что и векторы а₂¹ и а₅¹ по диагональной системе а₁¹, а₃¹, а₄¹ (те коэффициенты x_i ). Следовательно,

а₂ = а₁ – а₃, а₅ = 2а₁ + а₄ .

Задания. 1. Найти базис системы векторов и векторы, не входящие в базис, разложить по базису:

1. a₁ = { 1, 2, 1 }, a₂ = { 2, 1, 3 }, a₃ = { 1, 5, 0 }, a₄ = { 2, -2, 4 }.

2. a₁ = { 1, 1, 2 }, a₂ = { 0, 1, 2 }, a₃ = { 2, 1, -4 }, a₄ = { 1, 1, 0 }.

3. a₁ = { 1, -2, 3 }, a₂ = { 0, 1, -1 }, a₃ = { 1, 3, 0 }, a₄ = { 0, -7, 3 }, a₅ = { 1, 1, 1 }.

4. a₁ = { 1, 2, -2 }, a₂ = { 0, -1, 4 }, a₃ = { 2, -3, 3 }.

2. Найти все базисы системы векторов:

1. a₁ = { 1, 1, 2 }, a₂ = { 3, 1, 2 }, a₃ = { 1, 2, 1 }, a₄ = { 2, 1, 2 }.

2. a₁ = { 1, 1, 1 }, a₂ = { -3, -5, 5 }, a₃ = { 3, 4, -1 }, a₄ = { 1, -1, 4 }.