Кері матрица

n - ші ретті А матрицасының кері матрицасы деп және теңдіктерін қанағаттандыратын матрицасын айтады.

Анықтауышы нөлден ерекше матрицаның ғана кері матрицасы болады.

Кері марицаны табудың тәсілі.

Өлшемі n n өзгеше емес квадрат матрицанының кері матрицасы табу керек болсын. А матрицасының анықтауышын болсын:

Мысал. матрицасына кері матрицаны табу керек.

Шешуі. Матрицаның анықтауышын есептейміз:

.

Матрицаның элементтерінің алгебралық толықтауыштарын есептейміз:

Кері матрицаны табамыз.

Матрицаның рангы. А матрицасының k-шы ретті миноры деп матрицаның кезкелген k жолы мен кезкелген k бағандарының қиылысындағы элементтерден құрылған матрицаның анықтауышын айтамыз.

Егер матрицаның барлық k-ретті минорлары нольге тең болса, онда реті k дан үлкен болатын барлық минорлары нольге тең болады.

Матрицаның нольден ерекше минорларының ең үлкен ретін матрицаның рангысы деп аталады.

Матрицаның рангын есептеу. 1.Матрицаның нольден ерекше k-шы ретті миноры таңдап алынады.

2.Таңдап алынған минорды бір жол, бір бағанмен көмкере отырып k+1-ші ретті минорды есептейміз.Ол нольге тең болса,онда берілген матрицаның рангысы k –ға тең,ал нольге тең болмаса,онда бір жол бір бағанмен көмкере отырып k+2-ші ретті минорды есептейміз.Бұл минор нольге тең болса матрицаның рангысы (k+1)-ге тең, ал нольден өзгеше болса, көмкеруден пайда болған келесі минорды есептейміз.Егер де кейінгі барлық көмкеруден шыққан минорлар нольге тең болса,онда матрицаның рангысы соңғы нольден ерекше минордың ретіне тең болады.

Мысал. матрицасының рангысын көмкеру әдісімен есептелік.

Екінші ретті М минорын есептелік.

М = =-2+8=6 , M = 2+0-4+6-1-0=3 .

M₄= = =0.

Яғни 4-ші ретті минор нөлге тең. Нөлден ерекше минорлардың ең үлкен реті 3, сондықтан берілген матрицаның рангысы 3-ке тең.

Сызықтық теңдеулер жүйесі

n белгісізді m теңдеулерден тұратын

(1.1)

түрінде берілген жүйе сызықтық теңдеулер жүйесі деп аталады. Мұндағы х_1, х₂,...,х_n -белгісіздер, саны жүйенің i -ші теңдеуінің х_j белгісізінің алдындағы коэффициент, b - бос мүшелер деп аталады.

Егер жүйедегі барлық бос мүшелер нольге тең болса, онда ол біртекті жүйе деп, ал бос мүшелердің ең бомағанда біреуі нольден өзгеше болса,онда ол біртекті емес жүйе деп аталады.

(1.1) жүйенің барлық теңдеулеріндегі х_1, х₂,...,х_n белгісіздерінің орныны сәйкесінше λ₁, λ₂, λ₃, ..., λ_n сандарын қойғанда әрбір теңдеу тепе-теңдікке айналса, онда (λ₁, λ₂, λ₃, ..., λ_n) реттелген сандар жүйесі оның шешімі деп аталады.

Егер жүйенің шешімі бар болса,онда ол үйлесімді, ал егер шешімі жоқ болса, онда ол үйлесімсіз жүйе деп аталады. Біртекті сызықтық теңдеулер жүйесі үйлесімді, өйткені (0,0,0,....0) оның шешімі болады

(1.1) жүйедегі белгісіздер алдындағы коэффициенттерден құралған mxn өлшемді А матрицасын жүйенің негізгі матрицасы деп, ал mx(n+1) өлшемді = матрицасы (1.1) жүйенің кеңейтілген матрицасы деп аталады.

Теорема. Сызықты теңдеулер жүйесінің үйлесімді болуы үшін жүйенің негізгі матрицасының рангысы оның кеңейтілген матрицасының рангысына тең болуы қажетті және жеткілікті, яғни = .

Матрицаның рангысы мен белгісіздер саны тең болғанда ғана үйлесімді(1) теңдеулер жүйесінің бір ғана шешім болады.

Мысал. 4 белгісізді 3 теңдеуден тұратын біртекті емес сызықтық жүйе берілген:

Жүйенің үйлесімді болуын, не болмауын анықтау керек.

Шешуі. Кеңейтілген матрицанының рангысын есептейміз:

=

r = 3. Негізгі матрицаның рангысы =2. Соныменен, r r . Сондықтан жүйе үйлесімсіз.

n белгісізді n біртекті сызықтық теңдеулер жүйесінің нөлден өзге шешімдері болуы үшін жүйенің негізгі матрицасының анықтауышы нөлге тең болуы қажетті және жеткілікті.

Үш x, y, z белгісізді үш сызықтық теңдеу жүйесін қарастырайық:

(1)

(x, y, z алдындағы коэффициенттер h₁,h₂,h₃ бос мүшелері берілген деп есептеледі).

Егер x_o, y_o, z_o үш сандар парын (1) жүйенің x, y, z айнымалыларының орнына қойғанда (1) барлық теңдеу де тепе - теңдікке айналатын болса, онда x_o, y_o, z_o - сандар пары (1) жүйенің шешуі деп аталады.

1. Жүйені Крамер әдісімен шығар.

Келесідей белгілеулер енгізейік:

∆ анықтауышы (1) жүйенің анықтауышы деп аталады. ∆_х, ∆_у, ∆_z анықтауыштары ∆ жүйенің анықтауышынан сәйкес бірінші, екінші, үшінші бағандарын бос мүше элементтерімен ауыстыру арқылы алынған. Екі жағдай қарастырайық.

1 жағдай. . Бұл жағдайда (1)жүйенің шешуі бар және ол біреу ғана, және келесі формуламен анықталады:

(2)

(2) формулалары Крамера формулалары деп аталады.

2 жағдай. ∆=0, ∆_х=∆_у= ∆_z=0

Бұл жағдайда (1) жүйенің шексіз көп шешімі болады (шешуі болмауы да мүмкін).

Біртекті жүйені қарастырайық.

Мұндағы , яғни:

(3)

Егер болса,онда (3) жүйенің бір ғана нольдік шешімі х=0, у=0, z=0 болады.