§ 2. Замкнутость множеств.

Определение: Множество A называется замкнутым относительно операции , если результат применения этой операции к любым элементам множества A также является элементом множества A. (Если для любых a,b A, ab A, то множество A замкнуто относительно операции )

Для доказательства замкнутости множества относительно операции необходимо либо непосредственным перебором всех случаев убедиться в этом (пример 1б), либо провести рассуждение в общем виде (пример 2). Чтобы опровергнуть замкнутость, достаточно привести один пример, демонстрирующий нарушение замкнутости (пример 1а).

Пример 1.

Пусть A = 0;1.

а) В качестве операции  возьмем арифметическую операцию сложения (+). Исследуем множество A на замкнутость относительно операции сложения (+):

0 + 1 = 1  A; 0 + 0 = 0  A; 1 + 0 = 1 A; 1 + 1 = 2  A.

Имеем, что в одном случае (1+1) результат применения операции (+) к элементам множества A не принадлежит множеству A. На основании этого делаем вывод о том, что множество A не является замкнутым относительно операции сложения.

б) Теперь в качестве операции  возьмем операцию умножения ().

01 = 0  A; 00 = 0  A; 10 = 0  A; 11 = 1  A.

Для любых элементов множества A результат применения операции умножения также является элементом множества A. Следовательно, A замкнуто относительно операции умножения.

Пример 2.

Исследовать на замкнутость относительно четырех арифметических операций множество целых чисел, кратных 7.

Z₇ = {7n, n  Z} – множество чисел, кратных семи.

Очевидно, что Z₇ – незамкнуто относительно операции деления, так как, например,

7  Z₇, 14  Z₇, но 7 : 14 = ½  Z₇ .

Докажем замкнутость множества Z₇ относительно операции сложения. Пусть m, k – произвольные целые числа, тогда 7m Z₇ и 7k Z₇. Рассмотрим сумму 7m + 7 k = 7∙(m + k).

Имеем m Z, k Z. Z – замкнуто относительно сложения  m + k = l – целое число, то есть l  Z  7l  Z₇.

Таким образом, для произвольных целых чисел m и k доказали, что (7m + 7 k)  Z₇. Следовательно, множество Z₇ замкнуто относительно сложения. Аналогично доказывается замкнутость относительно операций вычитания и умножения (проделайте это самостоятельно).

Вопросы и задачи

1. Исследовать на замкнутость относительно арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления следующие множества:

а) множество четных чисел (иначе: множество целых чисел, делящихся на 2(Z₂));

б) множество отрицательных целых чисел (Z^–);

в) A = {0;1};

г) C = {–1;0;1}.

2. Исследовать на замкнутость относительно арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления следующие множества:

а) множество нечетных чисел;

б) множество натуральных чисел, последняя цифра которых нуль;

в) B = {1};

г) D = {–1;1}.

3. Исследовать на замкнутость относительно операции возведения в степень следующие множества:

а) множество N натуральных чисел;

б) множество Q рациональных чисел;

в) D = {–1;1};

г) множество нечетных чисел.

4. Исследовать на замкнутость относительно операции возведения в степень следующие множества:

а) множество Z целых чисел;

б) множество R действительных чисел;

в) множество четных чисел;

г) C = {–1; 0; 1}.

5. Пусть множество G, состоящее только из рациональных чисел, замкнуто относительно сложения.

а) Укажите какие-либо три числа, содержащиеся во множестве G, если известно, что оно содержит число 4.

б) Докажите, что множество G содержит число 2, если оно содержит числа 5 и 12.

6. Пусть множество K, состоящее только из целых чисел, замкнуто относительно вычитания.

а) Укажите какие-либо три числа, содержащиеся во множестве K, если известно, что оно содержит число 5.

б) Докажите, что множество K содержит число 6, если оно содержит числа 7 и 3.

7. Приведите пример множества, состоящего из натуральных чисел и незамкнутого относительно операции:

а) сложения;

б) умножения.

8. Приведите пример множества, содержащего число 4 и замкнутого относительно операций:

а) сложения и вычитания;

б) умножения.