1.3. Перша та друга інтерполяційні формули Ньютона

Часто інтерполяція ведеться для функцій, заданих таблицями з рівновіддаленими значеннями аргументів. В цьому випадку крок таблиці є величиною сталою.

Скінченною різницею першого порядку функції в точці (з кроком ) називається величина

.

Складемо таблицю скінченних різниць (табл. 1.4), які обчислюються за рекурентною формулою:

,

де – порядок різниці.

Таблиця 1.4 - Таблиця скінченних різниць (6 вузлів)

Першим інтерполяційним многочленом Ньютона називається многочлен виду:

(1.6)

На практиці формула (1.6) застосовується в дещо іншому вигляді. Покладемо: , або x = x₀ + ht. Тоді формула (1.6) перепишеться: (1.7)

У вираз многочлена (1.7) входять різниці різних порядків в точці , а саме Тому формулу (1.7) зручно застосувати для інтерполяції на початку таблиці.

Якщо вимагається знайти значення функції для деякого значення аргумента , що лежить між вузлами інтерполяції, то в якості x₀ беруть найближче менше до значення аргумента. Кажуть, що перший многочлен Ньютона застосовується для інтерполяції вперед.

Оцінка похибки першої інтерполяційної формули Ньютона:

де . (1.8)

Якщо аналітичний вираз похідної невідомий або його важко обчислити, то можна використати наступну формулу:

де . (1.9)

Другим інтерполяційним многочленом Ньютона називається многочлен виду:

(1.10)

На практиці зручніше користуватися іншою формою запису многочлена:

Покладемо або . У нових позначеннях отримуємо:

Оцінка похибки другого інтерполяційного многочлена Ньютона:

де . (1.12)

Якщо аналітичний вираз невідомий або його треба обчислити, то можна використати наступну формулу:

де . (1.13)

У вираз многочлена (1.11) входять різниці:

Тому формулу (1.11) використовують для інтерполяції у кінці таблиці. Якщо вимагається знайти значення функції при деякому значенні x = x’, то в якості беруть найближче до x’ (більше) значення аргументу з чисел, що містяться в таблиці. Кажуть, що другий многочлен Ньютона застосовується для інтерполяції назад.

Розглянемо приклад використання многочленів Ньютона для інтерполяції.

Приклад 1.2 Функція задана таблицею значень з постійним кроком:

.

0,150 0,155 0,160 0,165 0,170 0,175 0,180	0,14944 0,15438 0,15932 0,16425 0,16918 0,17411 0,17903

а) Записати перший інтерполяційний многочлен Ньютона другого порядку, використовуючи таблицю скінченних різниць.

б) Обчислити значення функції в точці x=0,156. Оцінити похибку.

Розв'язання.

Будується таблиця скінченних різниць:

0,150 0,155 0,160 0,165 0,170 0,175 0,180	0,14944 0,15438 0,15932 0,16425 0,16918 0,17411 0,17903	494 494 493 493 493 492	0 -1 0 0 -1	-1 1 0 1

а) Шуканий многочлен має вигляд:

б) В якості вибираємо з таблиці (найближче менше число для x=0,156). Тоді

Крок таблиці , тоді

б) Грубу оцінку похибки результату можна отримати, використовуючи формулу (1.13).