1. Краткие сведения из теории и примеры решения задач.

Прямоугольная таблица из чисел или иных математических объектов, содержащая m строк и n столбцов, называется матрицей. Обозначается заглавными буквами: А, В, С, D,… Общий вид матрицы

Коротко матрицу записывают так , - элементы матрицы. Первый индекс элемента матрицы обозначает номер строки, второй – номер столбца. Размерность матрицы m×n или (m,n).

Если число строк n матрицы равно числу столбцов, то такая матрица называется квадратной и n ее порядок.

Если поменять местами идентичные по номеру столбцы и строки, то получим транспонированную матрицу. Обозначается А^Т.

Примеры матриц:

; ;

Здесь А – матрица размером (3х5), В – квадратная матрица третьего порядка, В^Т – транспонированная матрица В.

Основные типы матриц:

1) Скаляр – это матрица размерности (1,1).

2) Вектор-столбец - матрица размерности (m,1).

3) Вектор-строка – матрица размерности (1,n).

4) Диагональная матрица – это квадратная матрица, элементы которой удовлетворяют условиям a_ij =0 при i ≠ j, т.е. все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны 0.

5) Единичная матрица (Е) – это диагональная матрица, у которой все элементы на главной диагонали равны единице.

Примеры некоторых матриц:

; ; .

Здесь А – матрица-столбец, С – диагональная матрица, E – единичная матрица.

Основные алгебраические операции с матрицами.

Две матрицы считают равными, если они имеют одинаковые размеры и равны все их соответствующие элементы.

Сложение двух матриц. Сложить можно только матрицы одинакового размера. Суммой матриц А и В называют матрицу С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов складываемых матриц. Например,

; .

Умножение матрицы на число. Все элементы исходной матрицы умножаются на заданное число. Например, .

Умножение матриц. Произведением А∙В матриц А (m×n) и В (n×r) называется матрица С размера (m×r) такая, что

.

Другими словами, чтобы найти элемент , нужно «приложить» строку с номером i матрицы А к столбцу c номером j матрицы В, перемножить соответствующие элементы и полученные произведения сложить.

Примеры: .

2) В∙А- не существует.

Определители. Вычисление определителей.

Определителем матрицы второго порядка называется число, равное разности между произведением чисел, образующих главную диагональ, и произведением чисел, стоящих на побочной диагонали, можно встретить следующие обозначения определителя: ; ; ; detA (детерминант).

.

Пример: .

Определителем матрицы третьего порядка называется число или математическое выражение, вычисляемое по следующему правилу

Наиболее простым способом вычисления определителя третьего порядка является дописывание снизу определителя двух первых строк.

В образованной таблице чисел перемножаются элементы, стоящие на главной диагонали и на диагоналях параллельных главной, знак результата произведения не изменяется. Следующим этапом вычислений является аналогичное перемножение элементов, стоящих на побочной диагонали и на параллельных ей. Знаки у результатов произведений меняются на противоположные. Затем складываем полученные шесть слагаемых.

Пример:

Разложение определителя по элементам некоторой строки (столбца).

Минором М_ij элемента а_ij квадратной матрицы А называется определитель, составленный из элементов матрицы А, оставшихся после вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.

Например, минором к элементу а₂₁ матрицы третьего порядка будет определитель .

Будем говорить, что элемент а_ij занимает четное место, если i+j (сумма номеров строки и столбца на пересечении которых находится данный элемент) – четное число, нечетное место, если i+j – нечетное число.

Алгебраическим дополнением А_ij элемента а_ij квадратной матрицы А называется выражение (или величина соответствующего минора, взятого со знаком «+», если элемент матрицы занимает четное место, и со знаком «-», если элемент занимает нечетное место).

Пример:

- алгебраическое дополнение элемента а₂₃=4;

- алгебраическое дополнение элемента а₂₂=1.

Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения.

Проиллюстрируем на примере определителя третьего порядка. Вычислить определитель третьего порядка разложением по первой строке можно следующим образом

Аналогично можно вычислить определитель третьего порядка, разложив по любой строке или столбцу. Удобно раскладывать определитель по той строке (или столбцу), в которой содержится больше нулей.

Пример:

Таким образом, вычисление определителя 3-го порядка сводится к вычислению 3-х определителей второго порядка. В общем случае можно вычислить определитель квадратной матрицы n-го порядка, сводя его к вычислению n определителей (n-1)-го порядка

Замечание. Не существует простых способов для вычисления определителей более высокого порядка, аналогичных способам вычисления определителей 2-го и 3-го порядка. Поэтому для вычисления определителей выше третьего порядка может использоваться только метод разложения.

Пример. Вычислить определитель четвертого порядка.

Разложим определитель по элементам третьей строки