Колмогоров Андрей Николаевич

1903-1987

Великий русский математик.

Мы перебрали все варианты. Других просто не может быть. Обратим внимание: любая сумма событий даст нам уже описанное событие (в исходах)

{w₁, w₂} + {w₃} = {w₁, w₂, w₃}

Любое произведение так же уже есть

{w₁, w₂} * {w₂, w₃} = {w₂}

Таким образом, мы получили набор подмножеств (событий), обладающий определенными свойствами.

σ – алгеброй называют непустую систему подмножеств F некоторого множества Ω, удовлетворяющую следующим условиям:

1. Если подмножество А  F, то Ā  F.

2. Если А₁,…, А_n,…  F

то А₁А₂…А_n… F и

А₁А₂…А_n… F.

Очевидно, что  F и Ω  F. В примере с пирамидой система событий (подмножеств) образует σ – алгебру.

{w₁}, {w₂}, {w₃},{w₄},

{w₁, w₂}, {w₂, w₃}, {w₁, w₃},{w₂, w₄},{w₁, w₄},{w₃, w₄},

{w₁, w₂, w₃}, {w₁, w₂, w₄}, {w₂, w₃, w₄}, {w₁, w₃, w₄},

{w₁, w₂, w₃, w₄}, .

При аксиоматическом определении вероятности у нас имеется множество  - пространство неравновозможных элементарных исходов . События являются подмножествами  и образуют σ–алгебру. Пусть каждому событию А поставлено в соответствие число Р(А).

Числовую функцию Р(А) называют вероятностью, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

Аксиома 1. .

Аксиома 2. .

Аксиома 3. Для попарно несовместных событий справедливо равенство .

Тройку <Ω, F, P>, где  - пространство элементарных исходов, F - σ – алгебра событий, Р - вероятность, называют вероятностным пространством.

 Простейшее вероятностное пространство – при бросании монетки (орел, решка)

 Ω = {w₀, w_p}

A₁ A₂ Ω

F = {, {w₀}, {w_p}, {w₀, w_p}}

P(A₁) = P(A₂) = ½, Р()=0, Р(Ω)=1. 

Теоремы умножения вероятностей

Вероятность события А, вычисления в предположении, что событие В уже произошло , называется условной вероятностью.

 В урне ( обобщенное название любой непрозрачной емкости с любыми одинаковыми на ощупь предметами) находятся 3 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают по одному шару без возвращения. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании, если первый извлеченный шар был черным.

 Событие В – первый вытащен черный шар.

Событие А – вторым вытащен белый.



Понятие условной вероятности играет важнейшую роль в современной теории вероятностей и математической статистике. Условная вероятность позволяет учитывать дополнительную информацию о событиях.

Формула для определения условной вероятности:

Доказательство:

-общее число элементарных исходов - число исходов, благоприятствующих А - число исходов, благоприятствующих В

Нам известно, что событие В уже произошло (т.е. число возможных исходов сократилось до тех, которые благоприятствуют событию В). Теперь, при определении вероятности события А нам нужно выбирать из возможных исходов. Причем, среди них событию А благоприятствуют исходов, при которых происходит и А и В. Тогда

При выводе мы осуществили переход к новому пространству элементарных исходов ( ).

Условной вероятностью события А при условии события В называется отношение вероятности произведения событий А и В к вероятности события В:

.

 Испытание: бросание кости.

Событие В: выпадение 4 или 6 очков.

Событие А₁ : выпадение четного числа очков.

Событие А₂ : выпадение 3, 4 или 5 очков.

Событие А₃ : выпадение нечетного числа очков.

Найти условные вероятности

 1. А₁*В=В

2.

3. 

Рассмотрим два события А и В. Пусть известны и . Как найти вероятность совместного появления события А и В - ?

Теорема. Вероятность совместного появления 2-х событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие произошло:

.

Доказательство: смотри определение условной вероятности. 

Следствие. Вероятность совместимого появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже произошли:

_.

Порядок нумерации событий значения не имеет.

 В урне находятся 5 белых, 4 черных и 3синих шара.

Испытание: извлекают шар, смотрят и откладывают в сторону (выборка без возврата). Найти вероятность того, что первый извлеченный шар был белым, второй – черным, третий – синим.

 Пусть событие А: 1-й шар – белый, В: 2-й шар –черный, С: 3-й шар – синий.

. 

НЕЗАВИСИМЫЕ И ЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ

Рассмотрим два события А и В. Вероятность назовем безусловной, а вероятность соответственно условной. Наступление события В может влиять или не влиять на вероятность события А, т.е. может быть равна , а может и нет.

События А и В, имеющие ненулевые вероятности, называются независимыми, если или .

В противном случае события А и В называются зависимыми. Свойство независимости взаимно.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий:

Доказательство:

, т.к. события независимы, то и 

Два события называются независимыми, если вероятность их произведения равна произведению их вероятностей:

На практике о независимости событий судят по смыслу задачи. Например, если говорится о том, что стреляют два стрелка, то события «попал 1-й стрелок» и «попал 2-й стрелок» считаются независимыми ( конечно, если стрелки стреляют по мишени, а не друг в друга).

 Найти вероятность попадания в мишень обоими лучниками, если вероятность попадания 1-го равна 0.5, а 2-го -0.8?

 Пусть событие А: попал 1-й стрелок, событие В: попал 2-й стрелок. Тогда событие АВ – попал и 1-й и 2-й лучник.



Несколько событий называются попарно независимыми, если независимы каждые два из них.

Введем понятие независимости в совокупности.

События называются независимыми в совокупности, если вероятность произведения любых двух событий равна произведению вероятностей этих событий; вероятность произведения любых трех событий равна произведению вероятностей этих событий; … ; вероятность произведения любых n событий равна произведению вероятностей этих событий:

События

.

Из независимости событий в совокупности следует их попарная независимость, но не наоборот.

Следствие из теоремы умножения вероятностей для независимых событий.

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению их вероятностей

.

 Я пользуюсь электронной почтой. На прошлой неделе я посылаю письмо подруге, коллеге и тезисы на конференцию. Ни на одно письмо нет ответа. В принципе не ответить может каждый. Найти вероятность неработы почты, если вероятность события «нет ответа от подруги» равна 0.5, вероятность события «нет ответа от коллеги» равна 0.3 и вероятность события «нет ответа с конференции» равна 0.2?

 Обозначим вышеперечисленные события А, В и С. Тогда событие АВС - не ответил никто. Т.к. эти события независимы в совокупности, то

Можно сделать вывод, что письма дальше сервера не уходят. 