§3 Повторение. Суждение. Логические операции и, или, не.

Суждение (высказывание) – это повествовательное предложение, в котором что–либо утверждается или отрицается. По поводу любого суждения можно сказать истинное оно или ложное.

Упражнение №1 Определите истинность суждений:

1. Наполеон был французским императором.

2. Чему равно расстояние от Земли до Марса ?

3. Киев – столица Украины.

4. Некоторые рыбы – хищники.

5. Внимание! Посмотрите направо.

6. Электрон – элементарная частица.

7. Не нарушайте правила дорожная движения!

8. Полярная Звезда находится в созвездии Малой Медведицы.

9. Все ребята умеют плавать.

Суждения бывают следующих типов – общими, частными или единичными. Общее суждение начинается (или можно начать) со слов: все, всякий, каждый, ни один. Частное суждение начинается (или можно начать) со слов: некоторые, большинство, не все и т.п. Во всех других случаях суждение является единичным.

Упражнение №2 Определить тип суждения:

1. Все рыбы умеют плавать.

2. Некоторые медведи – бурые.

3. Буква А – гласная.

4. Не все книги содержат полезную информацию.

5. Кошка является домашним животным.

6. Все лекарства приятны на вкус.

7. Некоторые лекарства приятны на вкус.

8. Не всё то золото, что блестит.

9. Все хорошо, что хорошо кончается.

10. Часть народов России принадлежит к монгольской расе.

11. Ни один внимательный человек не совершит оплошность.

12. Некоторые ученики – двоечники.

13. Мой кот страшный забияка.

14. Отдельные животные не имеют легких.

15. Любой неразумный человек ходит на руках.

16. У некоторых змей нет ядовитых зубов.

17. Многие растения обладают целебными свойствами.

18. Все металлы проводят тепло.

19. Рыбы дышат жабрами.

20. Многие из почтенных людей несчастны.

21. Только один металл жидкий.

22. Автор “Гулливера” жил в Англии.

23. Не все званные избраны.

24. Ни один из римских рабов не обладал гражданским правом.

Логические величины – константы и переменные.

Логическая константа: ИСТИНА (true) или ЛОЖЬ (false).

Логическая переменная: логическая величина символически обозначенная латинской буквой. может принимать значения ИСТИНА (true) или ЛОЖЬ (false).

Логическое выражение: простое или сложное суждение. Сложное суждение состоит из нескольких простых, соединенных логическими функциями.

Логические операции

Конъюнкция – лат. conjunctio – связываю (логическое умножение, функция И). Бинарная (применяется к двум суждениям). В естественном языке ей соответствуют союзы “и”, “а”, “да”, “однако”, “хотя”, “в то время как”, несмотря на”. Обозначается знаками: А&В, АВ, АВ, A and B, AB.

Дизъюнкция – лат disjunctio – разобщение, разделение (логическое сложение, функция ИЛИ). Бинарная. В естественном языке ей соответствуют союзы “ или”, “либо”. Обозначается знаком: АВ, A or B, А+В.

Отрицание (функция НЕ). Унарная (применяется к одному суждению). Обозначается знаками: А,А, not A.

Логическая формула (логическое выражение) – формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является ИСТИНА или ЛОЖЬ.

Упражнение №3 Из двух простых суждений постройте сложное суждение.

1. Марина старше Светы. Оля старше Светы.

2. Иван – сын Петра. Иван – внук Петра.

3. Одна половина класса изучает английский язык. Вторая половина класса изучает немецкий язык.

4. В кабинете есть учебники. В кабинете есть справочники.

5. Слова в этом предложении начинаются на букву Ч. Слова в этом предложении начинаются на букву А.

6. Часть туристов любит чай. Остальные туристы любят молоко.

7. Синий кубик меньше красного. Синий кубик меньше зеленого.

8. Х<6, X>2.

9. Летом я поеду в деревню. Летом я поеду в туристическую поездку.

Таблицы истинности

Истинность сложных суждений определяется с помощью таблиц истинности:

a		a
и		л
л		и
a	b		ab			a&b
и	и		и			и
и	л		и			л
л	и		и			л
л	л		л			л

Упражнение №4 Определите истинность сложных суждений:

1. Приставка есть часть слова, и она пишется раздельно со словом.

2. Суффикс есть часть слова, и он стоит после корня.

3. Родственные слова имеют общую часть, и они сходны по смыслу.

4. Рыбу ловят сачком или ловят крючком, или мухой приманивают, иль червяком.

5. Буква “а” – первая буква в слове “аист” или “сова”.

6. Две прямые на плоскости параллельны или пересекаются.

7. Данное число четно или число, больше его на единицу, четно.

8. Луна – планета или 2 + 3 = 5.

Упражнение №5 Решите задачу:

На одном острове живут два племени – молодцы, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. На остров приезжает путешественник, это был Миклухо–Маклай, и, встретив местного жителя, спрашивает его: “Кто ты, из какого рода–племени?”. – Я молодец!” – гордо отвечает абориген. – “Вот хорошо, – обрадовался путешественник, – будешь моим проводником!” – Гуляют они вдвоем по острову и вдруг видят вдалеке еще одного аборигена. – Пойди спроси у него, – говорит путешественник своему проводнику, – из какого он рода племени?”. – Проводник сбегал, вернулся и доложил: “Он сказал, что он – молодец!” – “Ага, – подумал путешественник, – теперь я точно знаю, из какого племени ты сам!”.

Упражнение №6 Запишите следующие суждения в виде формул.

1. Неверно, что 0 < X  3 и Y > 5.

2. Точка с координатами X, Y принадлежит первой четверти единичного круга с центром в начале координат.

3. Х является max (X, Y).

4. Каждое из чисел X, Y, Z положительно.

5. Только одно из чисел X, Y, Z больше 10.

6. Хотя бы одно из чисел X, Y, Z положительно.

7. Ни одно из чисел X, Y, Z не равно 104.

8. Хотя бы одно из чисел X, Y, Z не является отрицательным.

9. Х не является min (X, Y).

10. Z является min (X, Y, Z).

11. Y не является max (X, Y, Z) и не является min (X, Y, Z).

12. Y, Z равны между собой.

13. Каждое из чисел X, Y, Z отрицательно.

14. Хотя бы одно из чисел X, Y, Z отрицательно.

15. Хотя бы одно из чисел X, Y, Z не является положительным.

16. Только одно из чисел X, Y, Z не больше 10.

17. Каждое из чисел X, Y, Z равно 0.

18. Точка с координатами X, Y не принадлежит единичному кругу с центром в начале координат и принадлежит кругу радиусом 2 и с центром в начале координат.

Упражнение №7 Вычислите значение логического выражения

1. x² + y²  4 при x = 1, y = –1

2. (x  0)  (y²  4) при x = 1, y = 2

3. (x  0) & (y²  4) при x = 1, y = 2

4. (x * y  0) & (y > x) при х = 2, y = 1

5. (x * y  0)  (y < x) при х = 2, y = 1

6. ((x * y < 0))  (y > x) при х = 2, y = 1

Упражнение №8 Определите значения логических переменных, если

1. a & (Марс – планета) = ИСТИНА

2. b & (Марс – планета) = ЛОЖЬ

3. c  (Солнце – спутник Земли) = ИСТИНА

4. d  (Солнце – спутник Земли) = ЛОЖЬ

5. a  (1 литр молока дороже 1 кг сливочного масла) = ИСТИНА

6. b & (1 литр молока дешевле 1 кг сливочного масла) = ЛОЖЬ

7. c  ( 1 кг масла дороже 1 кг винограда) = ИСТИНА

8. d & ( 1 кг масла дороже 1 кг карамели) = ЛОЖЬ

Приоритет выполнения действий: логические операции (<, <=, =, >, >=, <>), отрицание, конъюнкция, дизъюнкция. Кроме того, на порядок действий влияют скобки.

Упражнение №9 Сформулируйте суждения на разговорном языке:

1. X>0 & X<1  X<10 & X>5

2. X<>Y & Y<>Z

3. (0<X & X<=5 & Y<10)

4. 0<X & X<=5 & (Y<10)

5. X=12 & Y=12 & Z=12

6. X<0 & Y>0  Y<0 & X>0

7. X*Y<0 & X*Z>0

8. X*Y*Z<0 & X*Y>0

Упражнение №10 Определите значение логического выражения (X>Z) & (X=Y), если:

1. X=3, Y=5, Z=2

2. X=0, Y=1, Z=19

3. X=5, Y=0, Z=–8

4. X=9, Y=–9, Z=9

Упражнение №11 Определите значение логического выражения X & Y  X & Z, если логические переменные имеют следующие значения: X=ЛОЖЬ, Y=ИСТИНА, Z=ИСТИНА.

Упражнение №12 Постройте таблицы истинности для следующих функций

1. (A  B & C)

2. A & (B  C)

3. (A  B & C)