Необхідна та достатня умова диференційовності функції в точці

Умови Коші—Рімана (C.—R.)

;

Умови C.–R. в полярних координатах:

;

Розглянемо функцію , яка аналітична в деякій однозв’язній області D, що містить точку . Тоді існує

,

де .

Геометричний зміст

є кут, на який треба повернути дотичну в точці до будь-якої гладкої кривої , що проходить через т. , щоб одержати напрямок дотичної в точці до образа цієї кривої.

Відображення, яке здійснюється аналітичною функцією , має так звану властивість консерватизму кутів, яка означає, що кут між прообразами кривих, що проходять через деяку точку , дорівнює куту між відповідними образами цих кривих, що проходять через відповідну точку .

Геометричний зміст

є коефіцієнт розтягу (при ), або стиску (при довільного нескінченно малого елемента, що виходить з т. . При цьому коефіцієнт розтягу (стиску) буде однаковим у всіх напрямках в достатньо малому околі точки .

Відображення, яке здійснюється аналітичною функцією , має властивість сталості розтягу (стиску) в точці в достатньо малому її околі.

Наприклад, якщо розглянути на комплексній площині нескінченно малий трикутник, одна з вершин якого знаходиться в точці , то йому на площині буде відповідати нескінченно малий криволінійний трикутник з вершиною в точці . Відповідні кути в цих трикутниках будуть рівні, а відношення відповідних сторін з точністю до нескінченно малих будуть дорівнювати числу . Такі два нескінченно малих трикутника називають подібними між собою.

Аналітичне відображення є відображення подібності в нескінченно малому (поблизу кожної точки , в якій ).

Відображення, яким притаманні властивості сталості розтягу та консерватизму кутів, називають конформними, тобто такими, що зберігають форму.

Лінійна функція ,

де — комплексні сталі, є аналітична функція, яка взаємно-однозначно і конформно відображає поширену комплексну площину на поширену комплексну площину . При цьому:

Точку одержуємо в три етапи:

1) (перетворення обертання навколо т. ).

2) (перетворення подібності з коефіцієнтом подібності k і центром подібності в т. ).

3) (перетворення паралельного перенесення в напрямку вектора ).

Інверсією (симетрією) відносно кола радіуса називають таке перетворення площини на себе, при якому кожна точка площини переходить в таку точку , що лежить на промені , для якої має місце рівність .

Перетворення за допомогою функції

Точку одержуємо в два етапи:

1) перетворення інверсії відносно кола радіуса ,

2) дзеркальне відображення відносно дійсної осі

Окремий випадок :

1) — перетворення інверсії відносно кола радіуса =1.

2) — дзеркальне відображення відносно дійсної осі.

Дробово-лінійна функція ,

де — комплексні сталі, , є аналітична функція, яка взаємно однозначно і конформно відображає поширену комплексну площину на поширену комплексну площину .

При цьому:

Точку одержуємо, виконуючи послідовно декілька елементарних перетворень площини :

Властивості дробово-лінійного перетворення:

1) Дробово-лінійне перетворення відображає коло в коло в широкому розумінні цього слова (пряма лінія вважається колом нескінченного радіуса)

2) Існує єдина дробово-лінійна функція, яка три задані точки площини переводить в три задані точки площини . Вона має вигляд:

.

3) Якщо при дробово-лінійному перетворенні коло переходить в коло , то або область, що лежить всередині перейде в область, що лежить всередині ( тоді зовнішність перейде в зовнішність ), або область всередині перейде в область, що лежить зовні (тоді зовнішність перейде в область, що лежить всередині ). Це так званий принцип відображення границі.

4) Коли дробово–лінійне перетворення переводить одне коло в широкому розумінні в інше, то точки, які симетричні відносно першого кола, воно переводить в точки, симетричні відносно другого кола.

Приклади деяких відображень за допомогою

дробово-лінійної функції

1) Будь-яке конформне відображення круга на круг так, щоб точка перейшла в точку , має вигляд

.

2) Будь-яке конформне відображення круга на круг так, щоб точка , перейшла в точку , має вигляд

.

3) Будь-яке конформне відображення напівплощини на круг так, щоб точка перейшла в точку має вигляд

.

4) Будь-яке конформне відображення напівплощини на напівплощину має вигляд

,

де — дійсні числа, .

Обчислення

1)

де

2)

:

Умови існування

1) — гладка або кусково–гладка крива, що належить області D.

2) f(z) неперервна на кривій .

Властивості

1)

2) , де k — константа.

3) .

4)

де .

5) , де l — довжина контура , скрізь на лінії .

не залежить від форми кривої , а визначається лише положеннями початкової та кінцевої точок кривої в тому разі, коли функція аналітична в однозв’язній області D.

.

Формули інтегрування, що мають місце в R, справедливі також в C.