3. Соотношение аналитических и численных вычислений

Из сказанного в первом пункте ясно, что к недостаткам численного счёта относится следующее:

– неточность получаемого числового результата (ввиду накопления ошибок округления),

- -неустойчивость вычислений в ряде задач из-за накопления упомянутых выше ошибок,

– “сеточный” характер получаемого результата (т.е. возможность определить функцию лишь в узлах некоторой сетки),

– потеря существенной информации в процессе вычислений (получаемые числа не дают полной характеристики использованных формул).

Однако численные расчёты не исключают алгебраических вычислений: написание простейших программ требует вывода и переписывания формул, на которых основан алгоритм, а это можно поручить ЭВМ. Рост мощности компьютеров для описанных в

пункте 1 задач численного счёта не решает всех проблем; например,

расчёт развития атмосферных процессов с точностью, необходимой

для 48-часового прогноза, на наиболее мощных компьютерах (типа

CRAY) требует значительно больше 48 часов. Увеличение производительности в 10 раз едва ли поможет, ибо для уточнения прогноза нужно в 2 раза уменьшить шаг сетки (а значит, в 4 раза увеличить число неизвестных), что потребует 8-кратного увеличения объёма вычислений. Однако, можно надеяться, что комбинация численного счёта с аналитическими вычислениями приведёт к существенному успеху.

Особенности аналитических вычислений на ЭВМ состоят в следующем:

– имеется возможность проводить аналитические (и численные) преобразования без погрешностей,

– в результате не теряется исходная информация о характере исследуемого процесса,

– на этапе аналитических вычислений неустойчивость процесса не проявляется,

– в ряде случаев наблюдается быстрое (экспоненциальное) возрастание результатов промежуточных вычислений,

– ввиду упомянутого разрастания результатов резко повышаются требования к объёму памяти и к быстродействию компьютера,

– резко повышаются требования к предварительному изучению алгоритма: к оценке его быстродействия, необходимой памяти и к эффективному представлению результата,

– имеется возможность производить генерацию программ, использующих найденные формулы.

4. О связи компьютерной алгебры и систем аналитических вычислений

Понятие компьютерной алгебры появилось в связи с разработкой и применением систем аналитических вычислений. Цель компьютерной алгебры в изучении алгоритмов аналитических преобразований с точки зрения эффективной их реализации на ЭВМ.

Ввиду указанного в предыдущем пункте разрастания результатов промежуточных вычислений (которое часто имеет катастрофический характер) центральная задача компьютерной алгебры – оценка сложности аналитических выражений и длительности аналитических преобразований. Зачастую это сводится к оценке числа арифметических действий с входящими в аналитическое выражение символами. Поскольку размер символов обычно нетрудно оценить задача сводится именно к оценке числа операций. Заметим, часто результаты, связанные с анализом вычислительных алгоритмов, применимы и к компьютерной алгебре (с некоторым смещением акцента: кроме времени вычисления по той или иной формуле следует говорить также об оценке её длины, которая обычно пропорциональна указанному времени).

Наиболее популярными и достаточно мощными системами компьютерной алгебры общего назначения к настоящему времени является:

– MACSYMA (мало доступна),

– REDUCE (наиболее широко распростронена),

– muMATH (на микрокомпьютерах),

– SCRATCHPAD (новая система с ограниченным доступом).

Эти и ряд других не названных здесь систем обладают общими

свойствами:

– программирование интерактивное,

– данные представляют собой аналитические выражения,

– язык пользователя похож на Паскаль,

– языки реализации близки к языку ЛИСП (или совпадают с

ним).

Особенность работы состоит в том, что в отличие от численного

счёта здесь пользователь передоверяет ЭВМ много таких функций,

которые раньше он выполнял самостоятельно. Тем самым в ещё

большей степени, чем при численном счёте, утрачивается контроль

за проводимыми преобразованиями. Для того, чтобы в какой-то

степени уравновесить этот недостаток, пользователю необходимо

более детально, чем в процессе численного счёта, представлять се-

бе работу используемого программного продукта, т.е. хорошо пред-

ставлять себе результаты применения тех или иных операций и про-

цедур применяемой системы аналитических вычислений, а также

знать свойства применяемых алгоритмов (в отношении сложности

вычислений и длины промежуточных результатов).