6.Линия тока и трубка тока

Представление о течении жидкости как о векторном поле является довольно сложным для восприятия. Поэтому введем новое понятие о линии тока, помогающее наглядно представить себе процесс течения жидкости (рис.6.1).

Рис. 6.1. Линия тока

Пусть в некоторой точке «а» в момент времени частица жидкости имеет скорость . Изобразим эту скорость в виде вектора , исходящего из точки «а». Другая точка пространства «в» лежит на векторе скорости и находится на бесконечно малом расстоянии от точки «а». В этой точке находится другая частица жидкости. Скорость в точке «в» несколько отличается от скорости в точке «а» как величине, так и по направлению.

Продолжая процесс перехода от одной точки пространства к другой, получим ряд точек a, в, c, d, e … .

Если расстояния между точками a, в, c, d, e будут стремиться к нулю, то ломанная линия a, в, c, d, e обратится в кривую линию. Эта линия называется линией тока. Она обладает тем замечательным свойством, что каждая частица жидкости, находящаяся на ней в данный момент времени, имеет скорость, совпадающую по направлению с касательной к этой кривой.

Введем понятие о трубке тока (рис.6.2). Для этого выделим внутри жидкости произвольный замкнутый бесконечно малый контур. Через каждую точку этого контура проведем линию тока, соответствующую данному моменту времени. Получим замкнутую цилиндрическую поверхность, состоящую из непрерывного ряда линии тока. Эта поверхность называется трубкой тока. Если линии тока провести через все точки поперечного сечения контура, то получим пучек линий тока или элементарную струйку жидкости.

Рис. 6.2. Трубка тока

Ее свойства:

–форма элементарной струйки остается неизменной с течением времени, так как вид линий тока из которых она состоит во времени не меняется.

–поверхность элементарной струйки, образованная линиями тока является как бы непроницаемой для частиц жидкости, движущихся в данной и в соседних струйках.

–вследствие малости поперечного сечения элементарной струйки скорости во всех точках ее поперечного сечения можно считать одинаковыми.

7.Уравнение неразрывности

Идея, лежащая в основе уравнения неразрывности выражает собой закон сохранения массы.

Для вывода уравнения выделим в момент времени в движущейся жидкости бесконечно малый объем dV. При перемещении он может менять свою форму и величину, но масса, заключенная внутри его, остается постоянной, потому, что материя не может исчезать и возникать.

Обозначим массу бесконечно малого объема через dM , тогда

(7.1)

Так как рассматривается объем, движущийся в жидкости, координаты которого x, y и z с течением времени меняются, то выражение (7.1) следует считать субстанциональной производной.

В случае объема в виде прямоугольного параллелепипеда с бесконечно малыми ребрами dx, dy, dz, масса его выразится формулой

если

Тогда можно записать, что

(7.2)

или выполнив дифференцирование, получим:

(7.3)

Рассмотрим подробнее производную

Для этого вычислим приращение объема параллелепипеда за бесконечно малый промежуток времени .

Изменение длины ребра за составит

При условии изменения длины других ребер параллелепипеда, параллельных оси х, на такую же величину первоначальный объем получит приращение в виде дополнительного параллелепипеда с площадью основания

и высотой

Рассматривая приращение объема параллелепипеда за счет изменения ребер, параллельных оси и , получим:

Полное приращение объема за время будет равно сумме отдельных приращений вдоль координатных осей, т.е.

.

Здесь / –коэффициент кубического расширения; / –скорость объемного расширения.

Приращение объема разделим на , получим:

Окончательно запишем:

. (7.4)

Это и есть уравнение неразрывности, которое устанавливает зависимость между скоростью изменения объема жидкости и изменением плотности. Здесь –полная производная, так как следим за частицей жидкости, перемещающейся в пространстве и следовательно, имеющей переменные координаты.

Для несжимаемой жидкости, т.е. при будем иметь:

(7.5)

или

(7.6)

т.е. скорость объемного расширения жидкости равно нулю, что и соответствует представлению о несжимаемой жидкости.

Уравнение неразрывности выражает собой закон сохранения материи, поэтому оно должно выполняться всегда. Однако можно представить такие случаи движения жидкости, когда с течением времени внутри выделенного объема возникают пустоты, т.е. пространства, не заполненные жидкостью (явление кавитации). В этом случае изменение объема уже не будет соответствовать изменению плотности, и уравнение неразрывности не будет выполняться.