6. Средняя гармоническая и средняя геометрическая

Кроме средней арифметической при расчете статистических показателей могут использоваться и другие виды средних. При этом следует учитывать, что в каждом конкретном случае, в зависимости от характера имеющихся данных, существует только одно истинное среднее значение показателя, являющееся следствием реализации его исходного соотношения.

Средняя гармоническая взвешенная используется, когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель.

Формула средней гармонической взвешенной

Данная формула используется для расчета средних показателей не только в статике, но и в динамике, когда известны индивидуальные значения признака и веса за ряд временных интервалов.

Средняя гармоническая невзвешенная. Эта форма средней, используемая значительно реже, имеет следующий вид:

Средняя гармоническая невзвешенная может использоваться вместо взвешенной в тех случаях, когда значения , для единиц совокупности равны.

Следует отметить, что средняя гармоническая взвешенная, как и средняя арифметическая взвешенная, в расчетах используются значительно чаще аналогичных невзвешенных формул. Это объясняется тем, что на практике достаточно редко имеют место ситуации, когда веса осредняемых вариантов равны (одинаковое отработанное время, одинаковая численность работников в группах, одинаковый товарооборот торговых предприятий и т. п.).

Средняя геометрическая. Еще одной формулой, по которой может осуществляться расчет среднего показателя, является средняя геометрическая

— невзвешенная; - взвешенная.

Наиболее широкое применение этот вид средней получил в анализе динамики для определения среднего темпа роста, что будет рассмотрено в соответствующей главе.

Средняя квадратическая. В основе вычислений ряда сводных расчетных показателей лежит средняя квадратическая:

-невзвешенная; -взвешенная.

Наиболее широко этот вид средней используется при расчете показателей вариации, коэффициентов структурных сдвигов, индексов.

В статистическом анализе также применяются степенные средние 3-го порядка и более высоких порядков.

7. Структурные средние

Наиболее часто используемыми в экономической практике структурными характеристиками являются мода и медиана. Мода представляет собой значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой. Медианой называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Основное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины:

Определим моду и медиану по несгруппированным данным. Предположим, что 7 сотрудников отдела имеют следующий стаж работы (лет):

5 2 4 3 4 2 2.

Так как чаще всего встречается стаж 2 года, то он и будет модальным.

Для определения медианы необходимо провести ранжирование:

2. 2-23445.

Центральным в этом ряду является стаж 3 года, следовательно, данный стаж и будет медианой. Если ранжированный ряд включает четное число единиц, то медиана определяется как средняя из двух центральных значений.

Если мода отражает типичный, наиболее распространенный вариант значения признака, то медиана практически выполняет функции средней для неоднородной совокупности. В этих случаях средняя не позволяет объективно оценить исследуемую совокупность вследствие сильного влияния аномальных максимальных или минимальных значений.

Рассмотрим определение моды и медианы по сгруппированным данным (рядам распределения).

Предположим., распределение торговых предприятий города по уровню розничных цен на товар А имеет следующий вид:

Цена, руб.	Число торговых предприятий
21Q	3
211	18
212	25
213	31
214	35
215	8
Итого	120

Определение моды по дискретному вариационному ряду не составляет большого труда — наибольшую частоту (35 предприятий) имеет цена 214 руб., следовательно, она и является модальной.

Для определения медианного значения признака по следующей формуле находят номер медианной единицы ряда:

где n — объем совокупности.

В нашем случае

Полученное дробное значение, всегда имеющее место при четном числе единиц в совокупности, указывает, что точная середина находится между 60-м и 61-м предприятиями. Необходимо определить, в какой группе находятся предприятия с этими порядковыми номерами. Это можно сделать, рассчитав накопленные частоты. Очевидно, что магазинов с этими номерами нет в первой группе, где всего лишь 3 торговых предприятия, их также нет ни во второй группе (3 + 18 = 21), ни в третьей группе (3.+ 18 + 25 = 46). Следовательно, 60-е и 61-е предприятия находятся в четвертой группе (3 + 18 + 25 + 31 = 77), а значит, медианой является цена 213 руб.

В отличие от дискретных вариационных рядов определение моды и медианы по интервальным рядам требует проведения определенных расчетов на основе следующих формул:

где х₀ — нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту); h — ширина модального интервала; — частота модального интервала; — частота интервала, предшествующего модальному; — частота интервала, следующего за модальным; и

Где х₀ — нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот); h — ширина медианного интервала: — накопленная частота интервала, предшествующего медианному; m_i — частота i-го интервала, i = 1, 2,..., К; — частота медианного интервала.

Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию. Если М₀< М_е< х — имеет место правосторонняя асимметрия, при х < М_е< М_а следует сделать вывод о левосторонней асимметрии ряда.