Свойства ранга матрицы:
При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.
Ранг матрицы не изменится, если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд.
При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется, т.е. если ~В, то
Пример 29. Найти ранг матрицы
Решение. Умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к элементам третьей строки
~
Элементы второй строки умножим на 3 и прибавим к элементам третьей строки
~
Вычеркнем третью строку полученной матрицы, т.к. все ее элементы равны нулю:
~
.
Составим минор второго порядка:
.
Таким образом,
В преобразованной матрице получилось две ненулевые строки.
Пример 30. Найти ранг матрицы
.
Решение. Умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к элементам второй строки данной матрицы:
~
.
Умножим элементы первой строки на (-3) и прибавим к элементам третьей строки:
~
.
Элементы второй строки полученной матрицы умножим на (-5) и прибавим к элементам третьей строки:
~
Из элементов полученной матрицы составим определитель третьего порядка. Для этого возьмем первые три столбца:
.
Получили определитель треугольного вида, значение которого равно произведению элементов главной диагонали
.
Ранг последней матрицы равен 3, следовательно, ранг данной матрицы тоже равен 3.
В последней матрице содержится три ненулевые строки.
Можно сделать следующий вывод:
ранг матрицы равен количеству ненулевых строк преобразованной к треугольному виду матрицы.
1.2.5. Задания для самостоятельного решения.
1.
Даны матрицы
,
,
.
Существуют ли а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
,
е)
,
ж)
,
з)
?
2. Найдите 
и 
, если известно, что а) 
;
б)
;
в)
.
3.
Даны матрицы:
,
.
Найдите
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
4.
Даны матрицы:
,
,
.
Найдите
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
.
5. Найти:
a)
3A+2B,
если
б)
;
в)
;
г)
д)
;
е)
;
ж)
з)
и)
;
к)
.
6.
Найти значение многочлена
,
если:
а)
,
где
;
б)
,
где
;
в)
,
где
.
7. Найти матрицы, обратные для данных и сделать проверку:
а)
; б)
; в)
;
г)
.
8. Найти ранг матрицы:
а)
;
б)
; в)
;
г)
; д)
; е)
.
Ответы: 1. а), в), е), ж) да; б), г), д), з) нет.
2.
а) 3;5, б) 3;6, в)
— любые натуральные числа.
3.
а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
,
е)
,
ж)
,
з)
.
4.
а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
,
е)
,
ж) E,
з)
,
и) C,
к) A.
5.а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
.
6.
а)
;
б)
;
в)
.
7.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
8. а)2; б)3; в)3; г)2; д)1; е)2.
1.3. Системы линейных уравнений
1.3.1. Основные понятия
Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида:
(1.16)
где
числа
называются коэффициентами системы,
числа
- свободными членами.
Матрица, составленная из коэффициентов системы, называется основной матрицей и обозначается:
. (1.17)
Расширенной
матрицей системы называется матрица
,
полученная из основной матрицы
,
дополненная столбцом свободных членов:
. (1.18)
Решение
системы (1.16) называется n
значений
неизвестных
,
при подстановке которых все уравнения
системы обращаются в верные равенства.
Всякое решение системы можно записать
в виде матрицы-столбца
.
Определение. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Определение. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.
Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.
Две системы называются эквивалентными (равносильными), если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.
Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.
Система линейных уравнений (1.16) называется однородной, если все свободные члены равны нулю.
(1.19)
Однородная
система всегда совместна, так как
является решением системы. Это решение
называется нулевым или тривиальным.