13. Многочлен с заданным нулём

Постройте многочлен с целыми коэффициентами, имеющий ноль . Постройте многочлен наименьшей степени, обладающий этим свойством.

Обобщение. Та же задача для суммы k квадратных корней из различных простых чисел.

14. Иррациональные корни

При каких целых корни уравнения записываются только через квадратичные иррациональности? (Допускается несколько знаков квадратного корня – один в другом.)

15. Количество решений

1. Исследуйте количество корней уравнения в зависимости от параметров p и q. Нарисуйте на плоскости параметров (p, q) области, соответствующие случаю 4, 3, 2 и т.д. корней.

2. Аналогичная задача для кубического многочлена x³ + px + q = 0.

3. Исследуйте количество корней уравнения в зависимости от параметров a, b и c. Изобразите соответствующие области в пространстве параметров .

16. Как увидеть симметрию многочлена?

Уравнение х(х+1)(х+2)(х+3)=1 легко решается с помощью замены неизвестной. Для этого достаточно перемножить крайние скобки, перемножить средние скобки: и сделать замену . Однако, если сразу раскрыть все скобки, то непонятно, как решать полученное уравнение (как увидеть нужную замену):

.

Требуется исследовать, какая особенность левой части уравнения позволяет сделать нужную замену, какой класс уравнений можно решать подобным способом, как определять для многочлена стандартного вида, можно ли найти его корни соответствующей квадратичной заменой.

17. Исследование графиков линейных функций на плоскости параметров (k ; b)

Рассмотрим координатную плоскость (k;b). Каждая прямая вида у=kх+b изображается на этой плоскости в виде точки. На координатной плоскости (k;b) проведено три прямые, проходящие через одну точку. Каждая такая прямая изображает некоторое семейство прямых на плоскости (х;у). Как эти семейства прямых связаны между собой? Аналогичный вопрос для трех параллельный прямых.

18. Диофантово уравнение а.А. Маркова

Решить уравнение в целых числах: x²+y²+z²=3xyz.

19. Периодическая последовательность

Последовательность ( ) является периодической (проверьте). При каких числах k и l последовательность получается периодической? Какой длины может быть период?

Темы по алгебре см. также в [Ст 9].

Геометрия

 

Геометрия, в противоположность алгебре, наименее алгоритмизированный раздел школьной математики, и исследовательских задач тут очень много. Стоит сделать два шага в сторону от школьной программы – и возникает новая тема (нередко она оказывается новой не только для школьника, но и для профессионала-математика). Но тут есть другое ограничение: чтобы решать содержательные задачи по геометрии, школьник должен быть хорошо выучен основам (7-8 класс), сам этого не придумаешь. Поэтому здесь большинство задач хороши не для знакомства с темой, а для повторения и углубления.

20. Оси куба

Возьмём кубик, проткнём его спицей через центры противоположных граней и начнём поворачивать. За один оборот кубик будет 4 раза совпадать со своим первоначальным положением. Поэтому такую ось называют осью вращения 4-го порядка. Какие ещё оси есть у куба, и каких порядков? Что изменится, если срезать у куба один уголок? Два противоположных уголка? Два уголка с одной грани? С одного ребра? Те же вопросы, если срезать три уголка.

 

21. Квадраты на клетчатой бумаге

Квадраты какой площади можно нарисовать на клетчатой бумаге? (Вершины должны лежать в вершинах клеток.) Для начала попробуйте нарисовать квадраты площадью 1, 2, 4, 5, 8, 13, 26 клеток.

 

22. Формула Пика

На клетчатой бумаге нарисован многоугольник с вершинами в узлах клеток. Как найти его площадь, подсчитывая лишь количества узлов?

23. Разбиение многоугольника на равновеликие треугольники

Рассмотрим в n-угольнике точку M, обладающую следующим свойством: если соединить её отрезками с вершинами, то получатся n равновеликих треугольников. Для каких многоугольников такая точка найдётся? Сколько таких точек может быть? Какими свойствами они обладают?

 

24. Восстановление многоугольника

На доске нарисован многоугольник. Отметили середины его сторон, а сам многоугольник стёрли. Как восстановить многоугольник по серединам сторон? Сколько решений имеет задача?

 

25. Равноугольные шестиугольники и равносторонние шестиугольники

1. Назовём многоугольник равноугольным, если у него все углы равны. Например, равноугольный четырёхугольник – это прямоугольник. У него равны противоположные стороны, диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам и т.д. А какие свойства есть у равноугольного шестиугольника?

2. Назовём многоугольник равносторонним, если у него равны все стороны. Например, равносторонний четырёхугольник – это ромб. У него равны противоположные углы, диагонали взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам и т.д. А какие свойства есть у равностороннего шестиугольника?

3. Изучите свойства равноугольных и равносторонних многоугольников, которые являются вписанными или описанными около окружности.