6. Применение принципа эквивалентного генератора.

На основании теоремы об активном двухполюснике сложная линейная схема А_o , из которой выделена любая ветвь с параметрами Е, R, может быть представлена относительно этой выделенной ветви эквивалентным генератором, состоящим из источника ЭДС Е_э и внутреннего сопротивления R_э, включенного последовательно с E_э (рис. 5) . Согласно теореме, величина ЭДС Е_э равна напряжению U_X холостого хода на зажимах выделенной ветви, а величина R_э – сопротивлению пассивной схемы относительно тех же зажимов (рис. 6) . Для получения пассивной схемы П в активной схеме А все источники энергии заменяют их внутренними сопротивлениями. В частности, идеальные источники тока разрывают, а идеальные источники ЭДС закорачивают. После замены сложной схемы эквивалентным генератором ток в выделенной ветви находят по закону Ома:

.

II. Пример анализа сложной схемы.

Пусть задана схема (рис. 7), параметры которой указаны в таблице 2.

Таблица 2

В		А	Ом
10	20	5/13	13	5	6	7	10	4

Требуется провести все расчёты, предусмотренные заданием.

1.Схема содержит восемь ветвей p=8, из которых одна ветвь с заданным током . Неизвестных токов семь

. Схема имеет пять узлов q = 5.

Размечаем узлы, произвольно выбираем направления токов в ветвях (рис. 8) и составляем четыре уравнения по первому закону Кирхгофа

Составляем три уравнения по второму закону Кирхгофа . Для этого в качестве независимых контуров выбираем контуры, обозначенные на рис. 8 римскими цифрами, выбираем направление их обхода. Записываем уравнения:

2. Вводим обозначение для неизвестных контурных токов: протекающих по выбранным в п. I независимым контурам. Источник тока , заменяем эквивалентным источником ЭДС (рис. 9) .Записываем систему уравнений относительно контурных токов:

Для удобства дальнейших вычислений записываем уравнения в матричной форме:

Подставляем числовые значения параметров элементов схемы из таблицы 2.

и решаем систему уравнений, пользуясь любым из известных методов, например, методом Крамера:

Определитель системы:

Алгебраические дополнения:

Получаем контурные токи:

; ;

Находим токи ветвей:

Последний из семи неизвестных токов (ток через резистор ) находим по исходной схеме (рис. 8), записывая уравнения по первому закону Кирхгофа для узла 2 или 5:

3. После преобразования источника тока в эквивалентный источник ЭДС схема (рис. 9) содержит четыре узла, поэтому для неё достаточно составить три уравнения. Будем записывать их в матричной форме:

Где - квадратная матрица узловых проводимостей, - матрица – столбец неизвестных межузловых напряжений, - матрица – столбец токов короткого замыкания. Диагональный элемент матрицы - это арифметическая сумма проводимостей ветвей соединённых в узле K; внедиагональный элемент - сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы и , взятая со знаком « - ». Элемент матрицы - столбца - это алгебраическая сумма токов короткого замыкания ветвей с источниками энергии, подходящими к узлу К. Для определения численного значения элемента мысленно закорачивают поочередно каждую ветвь, подходящую к узлу К, и находят ток закороченной ветви.

С учётом этих правил записываем систему уравнений:

где - напряжение узла К, К = 1, 2, 3, относительно узла 4, принятого в качестве базисного.

Подставляем числовые значения параметров схемы:

или

Решаем систему:

Получаем межузловые напряжения:

; ;

Токи ветвей:

4. Составляем баланс мощностей.

Вычисляем мощность, генерируемую источником тока. Находим напряжение на его зажимах (рис. 10):

Мощность, генерируемая всеми источниками:

Мощность, потребляемая всеми резисторами (потребителями):

т.е. с относительной погрешностью

что указывает на правильность проведенного ранее расчёта схемы методом контурных токов.

5. Результаты расчётов схемы двумя методами сводим в таблицу 3

Таблица 3

МКТ	0,669	1,054	-0,920	0,150	1,589	-0,519	-1,070
МУН	0,643	1,028	-0,890	0,182	1,609	-0,538	-1,071

6. В схеме (рис. 9) разрываем ветвь с искомым током и получаем схему для определения ЭДС эквивалентного генератора (рис. 11). Формируем уравнения по методу контурных токов

или

Решаем систему:

;

Контурные токи:

; ;

Находим токи ветвей 4 и 5:

Для определения напряжения составляем уравнения по второму закону Кирхгофа:

откуда Для определения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора закорачиваем ЭДС в схеме рис 11 и получаем пассивную схему (рис. 12 а). Заменяем звезду сопротивлений 4-5-6 эквивалентным треугольником (рис. 12 б) с сопротивлениями сторон:

Образовавшиеся участки с параллельными сопротивлениями вновь заменим сопротивлениями ( рис. 12 в) :

Наконец, получаем сопротивление:

После определения параметров эквивалентного генератора схема для расчёта тока приобретает вид рис. 13 , откуда находим

что вполне согласуется с полученными результатами (см. таблицу 3).

7. Для получения потенциальной диаграммы размечаем точки, отделяющие элементы друг от друга, и выбираем контур, содержащий оба источники ЭДС (рис. 14). Сумма сопротивлений контура равна:

Эта величина позволяет выбрать подходящий масштаб по оси сопротивлений будущей диаграммы.

Для определенности полагаем равным нулю потенциал точки а. Обходя контур а направлении, отмеченным стрелкой внутри, последовательно получаем:

Откладывая по оси ординат потенциалы точек, а по оси абсцисс сопротивление соответствующего участка контура, получаем потенциального диаграмму контура (рис. 15).

Таблица 1

№					Е1	Е2	Е3	Е4	Е5	Е6	R1	R2	R3	R4	R5	R6
Вар	Сх.				В						Ом
1	1				20	15	10	-	-	10	5	3	3	6	4	5
2	2				15	-	-	10	10	8	4	5	5	7	3	6
3	3				15	15	-	-	20	10	6	4	2	8	5	4
4	4				10	-	15	20	-	15	4	2	2	6	6	3
5	5				15	8	-	10	20	-	3	2	6	4	8	4
6		6			20	10	-	8	15	-	7	3	5	4	7	6
7		7			-	8	15	-	12	20	4	4	3	5	3	2
8		8			12	20	-	15	-	10	5	6	5	2	5	3
9		9			18	15	20	-	-	10	4	6	4	5	8	5
10		10			15	12	-	-	20	8	5	8	6	4	7	6
11		11			12	20	-	16	9	-	3	5	6	3	5	4
12		12			20	-	22	18	-	10	5	4	4	5	3	6
13		13			10	16	-	20	24	-	4	6	8	4	2	7
14		14			24	-	18	20	16	-	2	4	6	2	5	6
15		15			16	-	18	-	20	24	2	3	4	6	4	8
16		16			18	12	-	20	-	10	3	4	4	5	6	7
17		17			9	12	-	15	21	-	4	5	4	3	2	2
18		18			21	15	-	12	-	9	5	5	6	5	2	3
19		19			10	12	-	-	14	16	6	4	5	4	5	8
20		20			16	-	14	12	-	10	8	5	4	6	6	7
21		21			12	15	18	-	-	21	5	4	6	3	3	5
22		22			21	-	18	-	15	12	6	3	7	5	5	4
23		23			-	8	12	16	20	-	4	5	8	2	4	6
24		24			20	-	16	12	8	-	3	6	6	2	2	4
25		25			-	17	15	13	-	11	4	8	4	6	2	3
26			26		10	-	-	12	14	16	6	7	4	5	3	7
27			27		16	-	-	13	10	19	2	3	5	3	4	4
28			28		21	18	15	-	9	-	3	5	2	5	6	5
29			29		9	12	18	24	-	-	5	8	5	4	6	4
30			30		23	21	17	10	-	-	6	7	4	6	8	5
31			31		10	14	18	-	22	-	4	5	3	6	5	3
32			32		21	18	15	12	-	-	6	3	5	4	4	5
33			1		15	22	30	-	-	25	5	8	4	7	4	6
34			2		18	-	-	25	22	15	8	10	5	4	5	6
35			3		40	25	-	-	30	16	7	8	6	9	4	5
36			4		22	-	35	14	-	18	6	7	5	6	8	9
37			5		15	34	-	22	10	-	5	6	5	9	8	4
38			6		20	30	-	15	25	-	6	8	10	5	4	7
39			7		-	35	24	-	12	20	7	8	5	6	4	5
40			8		35	20	-	18	-	14	4	5	6	8	3	9
41			9		40	25	15	-	-	20	6	4	5	7	8	4
42			10		42	34	-	-	15	30	4	5	8	4	9	3
43			11		42	15	-	20	30	-	5	4	6	9	10	8
44			12		25	-	10	18	-	30	6	4	8	5	9	7
45			13		15	25	-	12	30	-	4	5	7	8	10	6
46				14	24	-	30	40	15	-	6	7	8	9	10	5
47				15	20	-	35	-	14	25	8	6	4	5	7	9
48				16	24	12	-	30	-	18	4	5	6	9	8	7
49				17	30	15	-	25	10	-	6	4	7	5	4	8
50				18	25	10	-	15	-	30	8	5	4	7	6	2
51				19	22	40	-	-	16	14	5	8	5	6	9	3
52				20	40	-	10	15	-	32	7	5	6	4	8	9
53				21	24	18	40	-	-	30	5	4	2	7	6	3
54				22	10	-	25	-	16	14	9	5	4	5	3	2
55				23	-	36	13	10	6	-	4	6	8	3	5	7
56				24	44	-	16	14	20	-	7	5	10	6	4	6
57				25	-	34	14	15	-	20	4	6	7	9	5	4
58				26	20	-	-	25	10	35	5	4	7	8	2	9
59				27	40	-	-	15	20	12	4	5	8	4	3	10
60				28	25	10	5	-	30	-	5	4	5	9	2	6
61				29	30	20	15	-	-	25	6	8	4	7	5	6
62				30	20	15	10	30	-	-	5	8	7	6	2	4
63				31	30	25	15	-	-	20	4	8	7	8	5	4
64				32	25	-	-	15	5	30	6	4	2	8	4	8
65				1	15	20	15	-	-	15	6	6	5	3	4	4
66				2	20	-	-	15	25	6	5	7	8	5	4	3
67				3	12	22	-	-	25	30	8	5	2	6	5	5
68				4	15	-	13	25	-	20	6	5	4	7	8	4
69				5	25	10	-	15	22	-	4	6	5	8	4	4
70				6	25	15	-	10	25	-	9	4	6	4	8	6
71				7	-	12	25	-	10	30	5	6	4	5	6	4
72				8	15	25	-	20	-	15	6	8	5	4	5	7
73				9	20	12	28	-	-	8	5	6	5	6	4	5
74				10	25	20	-	-	35	10	6	9	5	4	8	6
75				11	20	12	-	18	10	-	4	6	5	8	5	4
76				12	15	-	25	22	-	18	8	5	4	6	7	6
77				13	12	20	-	25	30	-	6	4	8	5	6	2
78				14	35	-	15	24	28	-	4	6	8	4	5	6
79				15	20	-	25	-	15	30	5	4	6	8	5	8
80				16	25	15	-	18	-	22	4	6	5	8	6	7

Рис.2

Рис.3

Рис.4

Рис.5

Рис.6

Рис.7 Рис.8

Рис. 9

Рис.10 Рис.11

Рис.12

Рис.13

Рис. 14

Рис.15

АНАЛИЗ ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО

ТОКА.