15.1. Принцип підпорядкування Хакена та параметри порядку

Дослідники, аналізуючи функціонування макроекономіки, економіки регіону, сектора, галузі чи підприємства й намагаючись урахувати численні фактори та взаємозв’язки, часто змушені будувати математичні моделі (системи) великої розмірності, що містять десятки або й сотні параметрів і рівнянь. Аналітичний аналіз таких моделей доволі складний і становить окрему проблему, а через це їх важко застосовувати на практиці та інтерпретувати здобувані результати.

Проте існує спосіб редукції відповідних систем до систем рівнянь значно меншої розмірності, завдяки чому вдається подати якісний опис об’єкта за допомогою кількох диференціальних рівнянь. Ідея цього методу полягає в тому, що коли йдеться про опис динаміки системи, не всі її параметри (або процеси, які вони характеризують) мають однакові часові масштаби зміни. Деякі параметри стану (швидкі змінні) можна виразити через інші (повільні змінні) — так звані параметри порядку, у результаті чого кількість незалежних змінних зменшується. Можливість подати швидкі змінні як функції параметрів порядку становить зміст принципу підпорядкування Хакена. Але варто зауважити, що задовго до Хакена цей метод був запропонований О. Тихоновим і відомий як теорема Тихонова. Розглянемо, у чому полягає її ідея.

Розглянемо процес спрощення моделі у вигляді системи n автономних нелінійних диференціальних рівнянь [2]:

.

Нехай після деяких перетворень систему можна впорядкувати за малим параметром при похідній, тобто подати у вигляді:

де r — малий параметр (r  1).

Щоб досліджувати поводження системи на короткострокових (порядку r²) і на довгострокових (порядку 1) часових інтервалах, необхідно розглядати повну систему. А коли йдеться про поводження системи на середньострокових часових інтервалах (порядку r), то її рівняння з параметром r² описують досить швидкі процеси, а рівняння з параметром 1, навпаки — досить повільні. Тому можна вважати, що за час T  r змінні x_k не зазнають істотних змін, а отже, у рівняннях, що залишилися, ці повільні змінні можна замінити їх початковими значеннями, знизивши розмірність системи на n – (l + m). Діючи так і далі, ми можемо зредуціювати вихідну систему до системи розмірністю l.

Параметри порядку й принцип підпорядкування належать до числа найбільш фундаментальних понять синергетики. З економічного погляду принцип підпорядкування означає, що можна знайти невелику кількість змінних (можливо, агрегованих, перетворених тощо), які визначають динаміку всієї економічної системи в околі особливої точки, а решта змінних залежить від них.

15.2. Показники Ляпунова

Одним із найважливіших результатів синергетики став висновок стосовно принципової обмеженості довжини часового горизонту прогнозу поводження навіть для порівняно простих систем. Це стосується систем, чутливих до початкових умов. Отже, якщо розглядати дві близькі траєкторії динамічної системи

,

то відстань між спочатку нескінченно близькими траєкторіями зростатиме з часом в середньому експоненціально:

.

Величина називається показником Ляпунова і характеризує горизонт передбачуваності — проміжок часу, на який можна дати прогноз поводження досліджуваної системи. Існує по одному показнику Ляпунова для кожного з вимірів фазового простору.

Формально показники Ляпунова динамічної системи визначаються виразом:

,

де — і-те власне значення матриці, складеної з перших частинних похідних від вектор-функції за компонентами вектора (матриці Якобі).

Додатний показник Ляпунова характеризує розтягування фазового простору, або швидкість розбігання близьких точок. Від’ємний показник Ляпунова відбиває стиснення, тобто швидкість, з якою система відновлюється після збурення.

Впорядкований за спаданням такий набір показників утворює спектр показників Ляпунова і дає змогу класифікувати атрактори (табл. 15.1).

Таблиця 15.1

КЛАСИФІКАЦІЯ АТРАКТОРІВ

Тип атрактора	Розмірність фазового простору	Знаки показників Ляпунова
Нерухома точка	1	(–)
Нерухома точка	2	(–, –)
Граничний цикл	2	(0, –)
Нерухома точка	3	(–, –, –)
Граничний цикл	3	(0, –, –)
Двовимірний тор	3	(0, 0, –)
Дивний атрактор	3	(+, 0, –)

Існують різні підходи до кількісного визначення показників Ляпунова, наприклад, алгоритм Бенеттіна (Benettin) [5; 12]. Роз­глянемо дві траєкторії, що виходять з близьких точок x₀ та , де . Візьмемо деякий часовий інтервал T і, розв’язавши чисельно рівняння динаміки, знайдемо вектори стану в момент T: . Відношення характеризує зміну довжини (у загальному випадку норми) вектора збурень за час T. Далі візьмемо інший вектор такого самого напрямку завдовжки , тобто . Далі продовжимо процедуру чисельного розв’язування рівняння з початковою точкою . Діставши вектори стану та збурень у момент 2T: , обчислимо відношення і т. д. (див. рис. 15.1).

Рис. 15.1. Ілюстрація до відшукання старшого показника Ляпунова за алгоритмом Бенеттіна

Однак цей алгоритм передбачає, що нам відома математична модель динамічної системи. Коли ця модель невідома, ми не знаємо ні матриці Якобі, ні розмірності фазового простору, і тому необхідні інші алгоритми. Так, Вольф (Wolf) запропонував алгоритм розрахунку найбільшого показника Ляпунова за реалізацією часового ряду, ідею якого викладено, наприклад, у [5].